采样定理

采样定理篇一:奈奎斯特采样定理

根据奈奎斯特采样定理，需要数字化的模拟信号的带宽必须被限制在采样频率fs的一半以下，否则将会产生混叠效应，信号将不能被完全恢复。这就从理论上要求一个理想的截频为fs/2的低通滤波器。实际中采用的通频带为0~fs/2的低通滤波器不可能既完全滤掉高于的fs/2的分量又不衰减接近于fs/2的有用分量。因此实际的采样结果也必然与理论上的有差别。如果采用高于fs的采样频率，如图1中为2fs，则可以很容易用模拟滤波器先滤掉高于1.5fs的分量，同时完整保留有用分量。采样后混入的界于0.5fs~1.5fs之间的分量可以很容易用数字滤波器来滤掉。这样输入模拟滤波器的设计将比抗混叠滤波器简单的多。
量化与信噪比    模拟信号的量化带来了量化误差，理想的最大量化误差为+/-0.5LSB。AD转换器的输入范围和位数代表了最大的绝对量化误差。量化误差也可以在频域进行分析，AD转换的位数决定了信噪比SNR；反过来说提高信噪比可以提高AD转换的精度。    假设输入信号不断变化，量化误差可以看作能量均匀分布在0~fs /2上的白噪声。但是对于理想的AD转换器和幅度缓慢变化的输入信号，量化误差不能看作是白噪声。为了利用白噪声理论，可以在输入信号上叠加一连续变化的信号，叫做“抖动信号”，它的幅值至少应为1LSB。叠加白噪声提高信噪比    由于量化噪声功率平均分配在0~fs /2，而量化噪声能量是不随采样频率变化的，采用越高的采样频率时，量化噪声功率密度将越小，这时分布在输入信号的有用频谱上的噪声功率也越小，即提高了信噪比。只要数字低通滤波器将大于fs /2的频率分量滤掉，采样精度将会提高。    采用叠加白噪声进行的过采样在每提高一倍采样频率的情况下可以将信噪比提高3dB或者说增加半位的分辨率，对于精度要求不太高的系统是不错的选择。这种方式需要通过某种方法产生白噪声，有时AD转换器内部的噪声已经足够，也就不用外加噪声源了。该方式对于输入原始波形没有限制，尤其适合于过采样倍数可以做的较高的系统。叠加三角波提高信噪比    通过类似于∑-Δ调制的技术，在输入信号上叠加三角波可以达到比上述方法还高一倍的精度。如图2，假设输入信号位于量化步q0与q1之间，AD转换器将得到两者中的某一个值。通过叠加适当的三角波，则将会在某些点得到q0而另一些点为q1，而两者出现的比例代表了输入信号在q0~q1之间的较确切位置。为了使这种方法的效果达到最佳，三角波的幅度应为n+0.5LSB（n=0，1，2…），图2中n=1。由于采样频率很高，输入信号的相对变化可以认为很小。图2中表示输入信号约为(q0+0.6)LSB时，普通的转换器将采样量化为(q1)LSB。而叠加三角波后采样到一系列的q0和q1 ，而两者出现的比例代表了实际的输入信号位置。在图中,过采样倍数为16，量化值中q1出现9次q0出现7次，由此得到输入信号为(q0+0.563) LSB，可见比原来的q1量化误差小的多。     采用叠加三角波进行的过采样在每提高一倍采样频率的情况下可以将信噪比提高6dB或者说增加1位的分辨率，可见其效果为叠加白噪声方法的2倍。然而要注意，该方法要求原始信号与三角波信号不相关，如果该条件不满足则必须保证在过采样周期（1/kfs）内原始信号的幅值变化不超过原始精度的+/-0.5LSB。

采样定理篇二:采样定理详解：3个主要条件只需满足其中任意2个

采样定理采样定理解决的问题是确定合理的采样间隔△t以及合理的采样长度T，保障采样所得的数字信号能真实地代表原来的连续信号x(t)。
衡量采样速度高低的指标称为采样频率fs。一般来说，采样频率fs越高，采样点越密，所获得的数字信号越逼近原信号。为了兼顾计算机存储量和计算工作量，一般保证信号不丢失或歪曲原信号信息就可以满足实际需要了。这个基本要求就是所谓的采样定理，是由Shannon提出的，也称为Shannon采样定理。
Shannon采样定理规定了带限信号不丢失信息的最低采样频率为
式中fm为原信号中最高频率成分的频率。
采集的数据量大小N为
因此，当采样长度一定时，采样频率越高，采集的数据量就越大。
使用采样频率时有两个问题需要注意。 正确估计原信号中最高频率成分的频率，对于采用电涡流传感器测振的系统来说，一般确定为最高分析频率为12.5X，采样模式为同步整周期采集，若选择频谱分辨率为400线，需采集1024点数据，若每周期采集32点，采样长度为32周期。
同样的数据量可以通过改变每周期采样点数提高基频分辨率，这对于识别次同步振动信号是必要的，但降低了最高分析频率，如何确定视具体情况而定。 采样定理解析
采样定理实际上涉及了3个主要条件，当确定其中2个条件后，第3个条件自动形成。这3个条件是进行正确数据采集的基础，必须理解深刻。
条件1：采样频率控制最高分析频率
采样频率(采样速率)越高，获得的信号频率响应越高，换言之，当需要高频信号时，就需要提高采样频率，采样频率应符合采样定理基本要求。
这个条件看起来似乎很简单，但对于一个未知信号，其中所含最高频率信号的频率究竟有多高，实际上我们是无法知道的。解决这个问题需要2个步骤，一是指定最高测量频率，二是采用低通滤波器把高于设定最高测量频率的成分全部去掉(这个低通滤波器就是抗混滤波器)。现实的抗混滤波器与理论上的滤波器存在差异，因此信号中仍会存在一定混叠成分，一般在计算频谱后将高频成分去掉，一般频谱线数取时域数据点的1/2.56，或取频域幅值数据点的1/1.28，即128线频谱取100线，256线频谱取200线，512线频谱取400线等等。
采样过程示意图
抗混滤波器的使用主要是针对频谱分析的，对于涉及相位计算的用途反而会引入相位误差。几乎所有的滤波器的相位特性远比幅值特性差。
为说明该条件，我们举例进行说明。
① 要想在频谱中看到500Hz的成分，其采样频率最少为1000Hz。
② 若采样频率为32点/转，频谱中最高线理论上可达到16X。
条件2：总采样时间控制分辨率
频谱的分辨率(谱线间隔)受控于总采样时间，即
其中△f为频谱分辨率，T为总采样时间。
① 如果采样总时间为0.5秒，则频谱分辨率为2Hz；
② 若区分6cpm(0.1Hz)的频谱成分，则总采样时间至少为10秒；
③ 对于总采样时间为8转的时间信号，频谱分辨率为1/8X。
条件3：采样点数控制频谱线数
解释这个条件，需要对FFT计算频谱的过程有一个了解。如果对于一个2048点的时间波形数据，我们可以获得2048点频域数据——1024线频谱(每条谱线有两个值，直接值和正交值，或者说幅值和相位两个值)。
对旋转机械来说，频谱仅仅画出了FFT复数输出的幅值部分，对于相位部分一般不画，因此频谱中的线数最多为时域点数的一半，考虑到混叠的影响，频谱线数一般会低于时域数据点数。
总结采样定理是实现正确采样的基准，上述3个条件中，可以根据需要设置其中2个条件，第3个条件就会自动固定。
① 如果采样总时间为0.5秒，想获得3200线频谱，则有
条件2：
条件3：3200线频谱实际需要4096点频谱数据(考虑到混叠问题)，8192点时域数据 ② 若在频谱上能区分0.2Hz间隔的频率成分，频谱确定为800线，则有
条件2：
条件3：800线频谱实际需要1024点频域数据，2048点时域数据
③ 若在频谱上能区分0.1Hz间隔的频率成分，且能在频谱上最大看到180Hz，则有
条件1：
条件2：
因此，按不低于360点/秒的采样速率采集10秒钟，可采集时域数据最少3600点。
为方便FFT计算，数据点数应为2的整数次幂，与3600最接近的数值是4096，由此可获得2048点频域数据，即可获得1600线频谱。1600线、频率间隔为0.1Hz的频谱最高分析频率为160Hz，显然不能满足需要。
4096下一个2的整数次幂的数值是8192，由此可获得3200线的频谱，其最高分析频率达到了320Hz，可以满足要求，可以通过提高采样速率来实现这一要求。
④ 在同步整周期采样时，若采集32点/转，共采集8转，则可获得256点时域数据和100线频谱，有
T=8转
△f=1/T=1/8转=1/8X
fMax=32点/转÷2=16X
f100=100线×0.125转/线=12.5X
用通用的方式表达为：设{xn｝(n=0，1,2,…N-1)为一采样序列若每周期等角度采集m点，共采集L周，则有mL=N
设该旋转机械的转动频率为f，则采样间隔为：
变换后的频率分辨率：
显然，工频分量正好处于第L条线上。相应地，kf=k△fL，即第k阶分量也处于整数 △f上，这样就保证了特征频率成分在频谱上的准确定位。采用同步整周期采样可获得的最高分析频率为：
理解了采样定理的实质，我们就会对某些仪器/系统中列出的技术指标有了正确的认识，频谱分辨率并不是衡量采样质量的唯一指标，即400线频谱与400线的频谱之间有可能存在差异；在分析齿轮故障时就不会出现没有啮合频率成分这样的尴尬；在分析开/停车过程时出现分辨率过低问题……

采样定理篇三:采样频率、采样点数、频率分辨率

1、频率分辨率的2种解释解释一：频率分辨率可以理解为在使用DFT时，在频率轴上的所能得到的最小频率间隔f0=fs/N=1/NTs=1/T,其中N为采样点数，fs为采样频率，Ts为采样间隔。所以NTs就是采样前模拟信号的时间长度T，所以信号长度越长，频率分辨率越好。是不是采样点数越多，频率分辨力提高了呢？其实不是的，因为一段数据拿来就确定了时间T，注意：f0=1/T，而T=NTs，增加N必然减小Ts ，因此，增加N时f0是不变的。只有增加点数的同时导致增加了数据长度T才能使分辨率越好。还有容易搞混的一点，我们在做DFT时，常常在有效数据后面补零达到对频谱做某种改善的目的，我们常常认为这是增加了N，从而使频率分辨率变好了，其实不是这样的，补零并没有增加有效数据的长度，仍然为T。但是补零其实有其他好处：1）使数据N为2的整次幂，便于使用FFT。2）补零后，其实是对DFT结果做了插值，克服“栅栏”效应，使谱外观平滑化；我把“栅栏”效应形象理解为，就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景，肯定有被栅栏挡住比较多风景，此时就可能漏掉较大频域分量，但是补零以后，相当于你站远了，改变了栅栏密度，风景就看的越来越清楚了。3）由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露，因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰，补零在一定程度上能消除这种现象。那么选择DFT时N参数要注意：1）由采样定理：fs>=2fh，2）频率分辨率：f0=fs/N，所以一般情况给定了fh和f0时也就限制了N范围：N>=fs/f0。解释二：频率分辨率也可以理解为某一个算法（比如功率谱估计方法）将原信号中的两个靠得很近的谱峰依然能保持分开的能力。这是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。在信号系统中我们知道，宽度为N的矩形脉冲，它的频域图形为sinc函数，两个一阶零点之间的宽度为4π/N。由于时域信号的截短相当于时域信号乘了一个矩形窗函数，那么该信号的频域就等同卷积了一个sinc函数，也就是频域受到sinc函数的调制了，根据卷积的性质，因此两个信号圆周频率之差W0必须大于4π/N。从这里可以知道，如果增加数据点数N，即增加数据长度，也可以使频率分辨率变好，这一点与第一种解释是一样的。同时，考虑到窗函数截短数据的影响存在，当然窗函数的特性也要考虑，在频率做卷积，如果窗函数的频谱是个冲击函数最好了，那不就是相当于没截断吗？可是那不可能的。
我们考虑窗函数主要是以下几点：1）主瓣宽度B最小（相当于矩形窗时的4π/N，频域两个过零点间的宽度）。2）最大边瓣峰值A最小（这样旁瓣泄露小，一些高频分量损失少了）。3.边瓣谱峰渐近衰减速度D最大（同样是减少旁瓣泄露）。在此，总结几种很常用的窗函数的优缺点：矩形窗：B=4π/N  A=-13dB  D=-6dB/oct三角窗：B=8π/N  A=-27dB   D=-12dB/oct汉宁窗：B=8π/N  A=-32dB   D=-18dB/oct海明窗：B=8π/N  A=-43dB   D=-6dB/oct布莱克曼窗：B=12π/N  A=-58dB  D=-18dB/oct可以看出，矩形窗有最窄的主瓣，但是旁瓣泄露严重。汉宁窗和海明窗虽主瓣较宽，但是旁瓣泄露少，是常选用的窗函数。2、采样周期与频率分辨率fs/N常称作为频率分辨率，它实际是作FFT时谱图中的两条相邻谱线之间的频率间隔，也有称作步长。单位是Hz、Khz等。频率分辨率实际有二重含意，在这里只是其中一种。1/fs的单位的s、ms、us或分、时...年等。1/fs代表采样周期，是时间域上两个相邻离散数据之间的时间差。因此fs/N用在频率域，只在DFT以后的谱图中使用；而1/fs用时间域，只要数据经采样，离散化后任何其它的应用中都可使用。例如有的数字滤波器中就用到。Δf=fs/N=1/T;Δf是频率采样间隔，同时也是频率分辨率的重要指标，如果这个值越小，则频率分辨率越高。1/fs往往用在求时间序列上，如（0：N-1）*1/fs等等，如果这个不好理解，可以把前面的公式求倒数，这就清楚多了3、采样定理采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。 时域采样定理 　频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
采样定理时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。图为模拟信号和采样样本的示意图。 时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。 频域采样定理 　对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T 时,f(t)=0,这里T =T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值来表示，只要这些采样点的频率间隔。 4、分析频率/采样点数/谱线数的设置要点1）最高分析频率：Fm指需要分析的最高频率，也是经过抗混滤波后的信号最高频率。根据采样定理，Fm与采样频率Fs之间的关系一般为：Fs=2.56Fm；而最高分析频率的选取决定于设备转速和预期所要判定的故障性质。
2）采样点数N与谱线数M有如下的关系：N=2.56M  其中谱线数M与频率分辨率ΔF及最高分析频率Fm有如下的关系：ΔF=Fm/M  即：M=Fm/ΔF  所以：N=2.56Fm/ΔF★采样点数的多少与要求多大的频率分辨率有关。例如：机器转速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率ΔF=1 Hz ,则采样频率和采样点数设置为：最高分析频率Fm=8·50Hz=400Hz;采样频率Fs=2.56·Fm=2.56 ·400Hz=1024Hz;采样点数N=2.56·（Fm/ΔF）=2.56·（400Hz/1Hz）=1024=210谱线数M=N/2.56=1024/2.56=400条
长按二维码识别关注
电子路上，结伴而行！

采样定理

https://m.shanpow.com/xhy/409480/