第一篇数的由来:数的由来和发展
数的由来和发展1
同学们你们知道吗?在远古时期没有数字,人们只是用豆子或系绳法来做记录.那么数字是怎么来的呢?相传是古代印度人一位牧羊童发明的.
这位小牧羊童每天都要到山上去放羊,时间长了他就觉得很无聊.为了消磨时光,他就在地上画了一个图形,后来他就把这个图形拆开来玩.有一天,他看着眼前的这些符号,忽然灵机一动,心想:我可以用这些符号来表示羊的数量呀!这样无论羊的数量是增加了,还是减少了,都用符号来表示,这不比用系绳法方便吗?接下来的几天里,他试了试,发现果然很方便.后来他把这个方法告诉了其他人.大家都夸小牧羊童想的办法真好,于是这种方法很快就传开了.经过不断地演化,这些符号就变成了现在的数字”1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9﹑0”.
大自然里的秘密还有很多很多,不信你就仔细观察,那里有许许多多的知识,但是,粗心的小朋友是得不到它的.
阿拉伯数字的来历
通常,我们把1、2、3、4……9、0称为”阿拉伯数字”.其实,这些数字并不是阿拉伯人创造的,它们最早产生于古代的印度.可是人们为什么又把它们称为”阿拉伯数字”呢?据传早在公元7世纪时，阿拉伯人渐渐地征服了周围的其他民族，建立起一个东起印度，西到非洲北部及西班牙的萨拉森大帝国。到后来，这个大帝国又分裂成为东西两个国家。由于两个国家的历代君主都注重文化艺术，所以两国的都城非常繁荣昌盛，其中东都巴格达更胜一筹。这样，西来的希腊文化，东来的印度文化，都汇集于此。阿拉伯人将两种文化理解并消化，形成了新的阿拉伯文化。
大约在公元750年左右，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫，把他随身带来的印度制作的天文表献给了当时的国王。印度数字1、2、3、4……以及印度式的计算方法，也就在这个时候介绍给了阿拉伯人。因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快就被阿拉伯人所接受了，并且逐渐地传播到欧洲各个国家。在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。
到后来，人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但是大家早已习惯了“阿拉伯数字”这个叫法，所以也就沿用下来了。
中国人民币发展史
货币被称为一个国家的”名片.”它既是价值尺度、流通手段,又是反映民族文化和精神风貌的艺术品.它是一个国家综合实力的体现,是一国政治、经济、文化、科技等的综合反映。人民币是中华人民共和国的法定货币.
我国目前共发行了五套人民币.1948年12月1日中国人民银行成立时开始发行人民币,也是我国第一套人民币.第二套人民币是1955年3月1日发行.1962年4月15日国务院批准中国人民银行发行了第三套人民币.第四套人民币于1987年4月27日发行.中国人民银行于1999年10月1日在全国发行了第五套(1999年版)人民币.
吴文俊的故事
吴文俊教授是我国著名的数学家.他能记住成千上万条烦琐的公式、定理和数据,但却记不住自己的生日.
吴教授60寿辰那一天,他的几个好朋友登门拜寿.正在埋头工作的吴教授,对今天是什么日子却茫然不知.其实吴教授的记忆力非常惊人.为改变数学家”一枝笔、一张纸、一个脑袋”的传统工作方式,他在已近花甲之年主持研究了一项名为”机器证明”的课题.在这项研究中吴文俊对电子计算机安装的日期及计算机编成的300多道”指令”的程序都记得一清二楚,不差分毫.
一位对数字特别敏感的数学家竟记不住自己的生日,朋友感到不解.面对老朋友你惑的目光,吴文俊解释说:”我从来不记那些没有意义的数字.在我看来,生日早一天,晚一天,没什么两样.所以,我自己的生日,爱人的生日,孩子的生日,我一概不记得,就连我结婚的日子也忘了.”
罗马数字的由来
罗马数字是古代罗马人创造的。古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。罗马数字很形象。如Ⅰ代表一个手指，Ⅴ就代表一只伸开的手，当然就是五个手指了，而Ⅹ呢，则代表两只伸开的手。13世纪以前欧洲各国普遍使用罗马数字来计数。实际上，罗马数字的符号一共只有七个：Ⅰ（代表1）、Ⅴ（代表5）、Ⅹ（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如“Ⅲ”表示“3”；“ⅩⅩⅩ”表示“30”。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“Ⅵ”表示“6”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“Ⅳ”表示“4”。
3． 加上横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数的一千倍。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了刑法，使他再也不能握笔写字。
十进制的来历和应用
人类最早用来计数的是手指、脚趾或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分1，2，3，4个手指，遇到5个的物体就伸出一只手，10个物体就伸出两只手。当数很多时就用小石子来计数，10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代表。
我国是世界上最早使用十进制记数的国家之一。商代甲骨文中已有十进制记数，十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。
现在通用的数码是印度——阿拉伯数码，用十进位制表示数。用0，1，2，3……9十个数码可表示任一数，低一位的数满十后进到一位上去。这种十进位制，现在看起来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。阿拉伯数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个，然而用这十个数字可以记出无限多的数。
每相邻的两个计数单位间的进率都是“十”的计数方法叫做十进制计数法。它遵循的原则是“逢十进一，退以当十”。
应用：10分=1角
10厘米=1分米，1丈=10尺
1斤=10两
“＞”“＜”和“＝”的来历
最常见的数学符号中有“＞”“＜”“＝”等，关于它们的来历是这样的：
等号“＝”在1540年首次被英国牛津大学的瑞柯德使用，后来经过法国数学家韦达和德国数学家莱布尼兹的使用，才为人们普遍接受。
大于号“＞”，小于号“＜”是英国数学家郝锐奥特的创造。
加号减号的来历
古希腊和印度人以前是把两个加数写在一起，表示加法，后来又有人用拉丁字母的P或P上加一横表示加。中世纪，据说，当时酒商在售出酒后，用线条“－”记录酒桶里的酒卖了多少。在把新酒灌入大桶时，就将线条“－”变为“﹢”，灌回多少酒就勾销多少条。商人在装货的箱子上画上一个“＋”表示超重，画一个“－”表示重量不足。久而久之，符号“＋”给人以相加的印象，“－”给人以相减的形象。达芬奇的画中也有“﹢”这个记号。
当时德国的数学家魏德曼巧妙地借用了当时商业中流行的“＋”和“－”号。1489年，在他的著作《简算和速算》一书中，把“＋”叫做加号，把“－”叫做减号。1514年，荷兰数学家赫克把它用作代数运算符号。后来在法国数学家韦达的大力宣传和提倡，“﹢”号，“－”才开始象现在这么普及。
直到1630年，才得到大家的公认。
时、分的由来
古人为了生活上的需要，把一天分为十二个时辰，就是子、丑、寅、卯等十二时。西方人把一天分为二十四个小时。一小时的六十分之一就是1分钟。
一切为了祖国
陈景润成了国际知名的大数学家，深受人们的敬重。但他并没有产生骄傲自满情绪，而是把功劳都归于祖国和人民。为了维护祖国的利益，他不惜牺牲个人的名利。 1977年的一天，陈景润收到一封国外来信，是国际数学家联合会主席写给他的，邀请他出席国际数学家大会。这次大会有3000人参加，参加的都是世界上著名的数学家。大会共指定了10位数学家作学术报告，陈景润就是其中之一。这对一位数学家而言，是极大的荣誉，对提高陈景润在国际上的知名度大有好处。 陈景润没有擅作主张，而是立即向研究所党支部作了汇报，请求党的指示。党支部把这一情况又上报到科学院。科学院的党组织对这个问题比较慎重，因为当时中国在国际数学家联合会的席位，一直被台湾占据着。 院领导回答道：“你是数学家，党组织尊重你个人的意见，你可以自己给他回信。”陈景润经过慎重考虑，最后决定放弃这次难得的机会。他在答复国际数学家联合会主席的信中写到：“第一，我们国家历来是重视跟世界各国发展学术交流与友好关系的，我个人非常感谢国际数学家联合会主席的邀请。第二，世界上只有一个中国，唯一能代表中国广大人民利益的是中华人民共和国，台湾是中华人民共和国不可分割的一部分。因为目前台湾占据着国际数学家联合会我国的席位，所以我不能出席。第三，如果中国只有一个代表的话，我是可以考虑参加这次会议的。”为了维护祖国母亲的尊严，陈景润牺牲了个人的利益。 1979年，陈景润应美国普林斯顿高级研究所的邀请，去美国作短期的研究访问工作。普林斯顿研究所的条件非常好，陈景润为了充分利用这样好的条件，挤出一切可以节省的时间，拼命工作，连中午饭也不回住处去吃。有时候外出参加会议，旅馆里比较嘈杂，他便躲进卫生间里，继续进行研究工作。正因为他的刻苦努力，在美国短短的五个月里，除了开会、讲学之外，他完成了论文《算术级数中的最小素数》，一下子把最小素数从原来的80推进到16。这一研究成果，也是当时世界上最先进的。 在美国这样物质比较发达的国度，陈景润依旧保持着在国内时的节俭作风。他每个月从研究所可获得2000美金的报酬，可以说是比较丰厚的了。每天中午，他从不去研究所的餐厅就餐，那里比较讲究，他完全可以享受一下的，但他都是吃自己带去的干粮和水果。他是如此的节俭，以至于在美国生活五个月，除去房租、水电花去1800美元外，伙食费等仅花了700美元。等他回时， 共节余了7500美元。 这笔钱在当时不是个小数目，他完全可以像其他人一样，从国外买回些高档家电。但他把这笔钱全部上交给国家。他是怎么想的呢? 用他自己的话说：“我们的国家还不富裕，我不能只想着自己享乐。” 陈景润就是这样一个非常谦虚、正直的人，尽管他已功成名就，然而他没有骄傲自满，他说：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正的高峰还没有有攀上去，还要继续努力。”
陈景润的故事
中国数学家、中国科学院院士。福建闽候人。 陈景润出生在一个小职员的家庭，上有哥姐、下有弟妹，排行第三。因为家里孩子多，父亲收入微薄，家庭生活非常拮据。因此，陈景润一出生便似乎成为父母的累赘，一个自认为是不爱欢迎的人。上学后，由于瘦小体弱，常受人欺负。这种特殊的生活境况，把他塑造成了一个极为内向、不善言谈的人，加上对数学的痴恋，更使他养成了独来独往、独自闭门思考的习惯，因此竟被别人认为是一个 “怪人”。陈景润毕生后选择研究数学这条异常艰辛的人生道路，与沈元教授有关。在他那里，陈景润第一次知道了哥德巴赫猜想，也就是从那里，陈景润第一刻起，他就立志去摘取那颗数学皇冠上的明珠。1953年，他毕业于厦门大学，留校在图书馆工作，但始终没有忘记哥德巴赫猜想，他把数学论文寄给华罗庚教授，华罗庚阅后非常赏识他的才华，把他调到中国科学院数学研究所当实习研究员，从此便有幸在华罗庚的指导下，向哥德巴赫猜想进军。1966年5月，一颗耀眼的新星闪烁于全球数学界的上空------陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的"1+2"；1972年2月，他完成了对"1+2"证明的修改。令人难以置信的是，外国数学家在证明"1+3"时用了大型高速计算机，而陈景润却完全靠纸、笔和头颅。如果这令人费解的话，那么他单为简化"1+2"这一证明就用去的6麻袋稿纸，则足以说明问题了。1973年，他发表的著名的"陈氏定理"，被誉为筛法的光辉顶点。 对于陈景润的成就，一位著名的外国数学家曾敬佩和感慨地誉：他移动了群山！
华罗庚的故事
中国数学家、数学教育家，中国科学院院士，江苏金坛人。 华罗庚的父亲是经营杂货店的小业主，由于经营惨淡，家境每况愈下，致使上中学不久的华罗庚辍学，当了杂货店的记账员。在繁琐、单调的劳作中，他并没有放弃最大的嗜好－－－数学研究。正在他发奋自学时，灾难从天而降－－－他染上了可怕的伤寒症，被医生判了“死刑”。然而，他竟然奇迹般地活了过来，但左腿却落下了终生残疾。他常挂在嘴边的是这样一句话：“所谓天才，就是靠坚持不断的努力。”这位没有大学文凭的数学家，凭着坚持不懈的努力，刻苦自学，于1930年，以《苏家驹之代数五次方程式不能成立的理由》的论文，而使中国数学界刮目相看。后被熊庆来教授推荐到清华大学数学系任助教 。在这里，他得益于熊庆来、杨武之的指导，学术上得以长足进步，并逐渐树立起他在世界数学界的地位。1948年应美国一所大学骋请任教。新中国成立后，他毅然放弃优越的工作和生活条件，携妻儿回国，担任清华大学数学系教授，后任中国科学院数学研究所所长。他十分重视和倡导把数学理论应用到生产实践中，并亲自组织和推广“优选法”、“统筹法”，使之在社会主义现代化建设中显示出了巨大的威力。他一生勤奋耕耘，共发表200余篇学术论文、10部专著。作为数学教育家，他培养出陈景润、王元、陆启铿等一批优秀的数学家，并形成了中国数学学派，有的人已成为世界级的数学家。 1985年6月12日，华罗庚在日本讲学时，因突发心肌梗塞而去世，终年75岁。一生以“最大希望就是工作到生命的最后一刻”自勉的华罗庚，将永远活在人民的心中。
“爱因斯坦”——陈景润
厦门，美称鹭岛。闻名遐迩的海上花园。位于大海之滨的厦门大学，背靠风光奇秀的五老峰。红墙，廊柱，琉璃瓦，依山傍海的校园建筑，像富丽而清纯的钢琴协奏曲，婉转悠扬，洋洋洒洒，尽情地抒发着南国的浪漫和妩媚。细细看去，不得不叹服校主陈嘉庚先生当年非凡的审美目光，中式的大屋顶，写意的飞檐吊角和西式的瓶形栏杆，和谐地构成它的庄重和飘逸，历经风霜大半个世纪，依然如风姿绰约的丽人，洋溢着迷人的异彩。 陈景润是幸运的。1949年秋，福州解放，他尚是16岁的高二学生。满目红旗如火，他所在的班级，被命名为“朝阳班”。新中国如灿烂的红日，从地平线上冉冉升起，那斑斓的万道金光同样把他的心照亮了。他对未来充满了期望。1950年春夏之交，他高中尚未毕业，毅然以“同等学力”的资格，报考素有“南方之强”美称的厦门大学。他被录取了。 当时去念厦大，是颇有点胆量的。因为，抬头便可望见仅一水之隔的国民党控制的金门诸岛。炮声不断。红旗插上了厦门岛，但空中却未完全解放，我空军部队尚未入闽，国民党反动派倚仗他们的几架飞机，常来骚扰。因此陈景润的家里人出于安全和爱护，曾劝陈景润就近在福州念大学，而一心向往厦大的陈景润，却毫不动摇，当家里人委婉地以经济原因挽留他留福州就读时，他倔强地回答：“就是走路，我也要走到厦大去！”莫非，这一片钟灵毓秀之地早已辉映在这位未来大数学家的心中么？ 第一次出现在厦大校园中的陈景润，毫不引人注目，他穿着一身黑色的学生装，头戴黑色的学生帽，脚上是当时被称为万里鞋的一种最普通的胶底鞋子，提着一个已经很破旧的小藤箱，一个小小的被盖卷，外加一件他哥哥送给他的旧大衣。他哥哥是解放前厦大法律系的毕业生，深知秋冬海风的凛冽，特地把自己的大衣给陈景润御寒。对生活一贯毫不在意的陈景润，全部思绪很快就被厦大优裕的学习环境紧紧地吸引住了。 当时，陈景润念的是数理系，入学时只有3个学生，后来，上一届留下的1个同学编了进来，4个学生一个班，老师几乎是手把手教他们的。学生宿舍在博学楼，也就是当今的厦门大学人类博物馆。走进由著名画家徐悲鸿先生亲自题写门匾的这座花岗石建筑，仍然可以寻觅到陈景润当年住的宿舍：123号房间。当时，6个学生住一间。陈景润睡的是下铺。神往和钟情数学的陈景润，正如高尔基所描绘的：像一个饥饿的人扑在面包上一样。他很快就陷入了痴迷的状态。 早在中学，他就开始涉猎大学课程，如今进了大学，他怎肯轻易罢休。时间，被他分解成一个个已是无法切开的小单元，而他把这一切全用于如饥似渴的学习中了。说来让人难以置信，身居厦大，抬头便可以透过海光岚影看到楚楚动人的世界级风景区鼓浪屿，而陈景润却一次也没有去过。近在咫尺的南国名寺南普陀，一派金碧辉煌，晨钟暮鼓，他也极少涉足，更莫提花花绿绿的厦门市区了。他的生活节俭到令人难以想象的程度，每月只用3—4元钱的伙食费，同学们常看到他只用馒头就咸菜充饥。厦门海鲜多，当时价格也相当便宜，他为了节省，很少挑选这些较好的菜肴。其时，建南大礼堂未建设，学校的东膳厅，每逢周末放电影，门票只须5分钱，三年大学生活，陈景润一次电影也没看过。为了节省衣服，他洗衣服也舍不得用力去搓，往往只是在水里泡一泡，抖一抖就提起来，晒干，再穿在身上。耐得住清贫，是一种可贵的品格，正如方志敏烈士在《清贫》一文中所写的那样：“清贫，正是革命者战胜许多困难的地方。”解放初期，陈景润的家境，因为父亲没有工作，而显得有些窘迫，但陈景润的节俭并非完全是经济原因。80年代他成名之后，经济条件很不错了，他依然如此，一架小型的收录机，学英语用，也是向数学所借的。到美国、英国讲学，对方付了一笔颇丰的讲学金，他也只用很少一部分，大部分积累起来献给了国家。他不愿意把过多时间和精力放在生活上，觉得愈简单愈好。至今，陈景润的姐姐仍保留着陈景润念大学时用的那个破旧的小藤箱。箱内，一双穿透了的万里鞋和几件破旧的衣服，默默地向世人昭示着这一段耐人回味的岁月。 陈景润把所有的精力都用在学习上了。他读书有一套自己暗中制订的“高标准”，每天，他除了完成老师布置的作业外，自己还要根据学习的课程完成一批作业题，少则几十道，多则上百道。每到傍晚，夕阳映红大海时分，逢到潮汛，海滨上一片欢声笑语，人们前去游泳，尽情领略大自然美好的馈赠。而陈景润却是穿着那双露出脚指的万里鞋，前到老师的住处送作业，请老师予以修改、指教。婆娑的木麻黄已经成林，柔情依依的相思树，更是消融了无数流逝的岁月，一代数学奇才陈景润，却是捏着时间的秒表，为人们留下了永恒的记忆。 攀登科学的高峰是不容易的，那是一步一步踏踏实实的跋涉，是以青春热血甚至宝贵的生命为代价的悲壮的拼搏。陈景润的身体瘦弱，脸色苍白，带着明显的病容，他害怕看病耽搁时间，结果生了病也不去看。实在坚持不住了，就躺在床上，一边看书，一边算是静养。 他准备了一个手电筒，那是夜晚读书用的，当时厦大虽然没有熄灯制度，但他也担心影响别人休息，到了深夜，就在被窝中拧亮手电读书。这种特殊的读书方式和习惯，一直延续到他在北京中关村工作时期。“文革”大劫，陈景润被揪到“牛棚”中，备受凌辱折磨。有一回，到处找不到陈景润，人们以为他逃跑了，四处搜寻，皆不见踪影。后来，才发现他就在“牛棚”中的一卷被窝里，瘦小的他躺在被窝中拧着手电看书。一烛亮光如豆，居然照耀着他大半生跋涉征途。清冷也罢，寂寞也罢，只有他独自能够真正地品出其中的甘苦和绵长了。 他学习真正到忘我的程度，有一回，从食堂回来，厦门的天气多变，一阵海风，忽然吹来了一片雨幕，同学们见状都飞跑起来，只有他独自漫步着，在雨帘中依然是那么地沉稳自在。他的同班同学杨锡安惊奇地问：“你不淋雨么？”他才恍然大悟，说道，他根本没有感觉到下雨，他的心绪全部沉缅到一片书海中去了。一个人痴迷到如此，便必然引起众人的注目，像中学生起绰号一样，他的同学同样毫不客气地称他是“爱因斯坦”。当然，此时的陈景润和以提出相对论改写了一个时代科学史的爱因斯坦难以相提并论，但他那种近似拗相公的执着，那种嗜书如命的忘我精神，却是一脉相承的，每一个成功的科学家，几乎都要经过这段“炼狱”式的旅程。 陈景润的同乡、校友、知交，中国科学院数学所的林群院士，对于陈景润的成功有一段异常精辟的见解：“科学好比登山，有的人登上一座山，浏览峰顶的风光，就满足而归了。而陈景润却不一样，他同样登山，倘若上山有十条小径，他每一条小径都要去爬一次。他重视的不全是结果，而是贵在过程。直到把上山的所有的路全摸透了，他才会感到满足。功底、基础就是这样一步一个脚印建立起来的。”大学生时代的陈景润，日日解题不息，并且乐在其中，原因便在于此。 他依然保持着中学时那种沉默并近似孤僻的性格，独自在数学的王国中遨游。有一段时间，被检查出患了肺结核，不得不去住院，身体稍有好转，就回来继续念书。有时，居然连洗脸、刷牙也忘了。解放初期，大学中开展知识分子思想改造运动，主要在教师中进行，偶尔也会“烧”到学生头上，陈景润对政治运动是门外汉，这一回却被“烧”着了，他同样到大会上去做“检查”，非常虔诚地检讨自己，并且向大家保证：今后一定讲卫生，天天洗脸刷牙。没有人笑他。这位厦大颇有点名气的“爱因斯坦”能够做到这一点，就很不错了。
勤业斋106室
“王校长！王校长——”轻声清晰的呼唤，忽地牵住了王亚南校长的脚步。正在福州市大街上行走的这位第一个把马克思的《资本论》译成中文，声名远播的我国著名经济学专家，怎么也不会相信眼前严峻的事实：陈景润正在大街上摆香烟摊和出租小人书摊。 这真是极富戏剧色彩的巧遇：当年厦大出名的“爱因斯坦”，怎会沦落到如此狼狈的地步呢？1954年，我国已经结束了国民经济恢复时期，开始实施第一个五年计划，到处在呼唤人才，而陈景润却失业了，生活无着，在福州摆小摊度日。 他的境遇，使王亚南受到强烈的震撼。 人生的道路并非全是明媚的春光。鲜花、太阳，并不会廉价地钟情于每一个幸运者。1953年，国家急需人才，陈景润他们这一届的学生根据安排，全部提前一年毕业，奔赴百业待兴的各条战线。全班四个同学，三位留在厦门大学工作，陈景润被分配到北京四中任教。当时，能到首都工作，是一种荣耀。然而，习惯于在数学王国中踽踽而行的陈景润，学业精深，且不乏聪明才智，但一站到如鸽子般天真纯洁且吱吱喳喳的中学生面前，便全慌了。他天性不善言辞，木讷有余，毫不活泼。他苦心钻研的数学，如著名作家徐迟所形容的，是天山雪莲，绝世牡丹，而现实却需要他去给中学生讲最简单的一元一次方程。人生严重错位，他不知所措，又不善周旋，更不会如现代人那样去找人通融一下关节，调换一个岗位。于是，陈景润被学校辞退了。一个人灰溜溜地回故乡福州。没有了工资，生存受到了威胁，出于无奈，只好像解放初期那些城里无业的游民那样，靠摆小摊过日子了。 了解到全部情况的王亚南校长心疼了。说实话，他并非在当时就看到陈景润日后的辉煌，而只是出自于对自己学生的爱护。他热爱学生是有口皆碑的，曾把翻译《资本论》的稿费全部用于给厦门大学学生支付讲义费，给贫困学生买鞋穿，可以说，有千千万万的厦大学生享受过他高尚真挚的慈爱和恩泽。世事不公。“文革”大劫，奉周恩来总理之命回厦大担任革委会主任的王亚南校长，突遭暗算，一夜之间，被打成“走资派”、“黑帮”、“反动学术权威”，惨遭迫害、批斗，终于诱发了绝症，死在上海。对于他的去世，周总理悲愤地给厦大当时处于两派内战的师生发来电报：两派师生应联合起来开追悼会，向王亚南校长的遗像默哀、告别。此时，人们才感到痛失这位德高望重老校长的不幸和哀伤，为时委实太晚了。 王亚南校长把陈景润带回厦大。他是真正懂得人才价值的。他和数学系的领导商量，让陈景润在系资料室工作，这里书香温馨，很适合陈景润的个性和特长。陈景润获救了。 这次失业的遭遇，给陈景润心灵留下浓重的阴影。人的第一个基本要素是求生存，当经济来源断绝，三餐吃饭都成为问题的时候，要去搞科研攀登科学高峰同样是不可能的。从此，陈景润更节俭了，尽管身在书斋，他总是担心会再次失业，会再次去摆香烟摊和出租小人书摊，去品味那社会最底层人们生活的苦涩和晦暗。这种特殊的“忧患”意识，几乎陪伴了陈景润的一生。他把节俭下来的钱存下来，通晓数学的他，担心钱会贬值，就把它换成了金戒指等硬通货。他时时防备着，一旦不幸失业，他仍然可以去研究他的数学。 重回厦大的陈景润，经过这次意外的人生变故，显得更为沉默和孤独了。他百倍珍惜得来不易的机遇，恨不得把所有的时间都花在他所钟爱的数学研究之中。他分得了一个小房间，勤业斋106室。勤业斋是有点像北京四合院式的旧式建筑，门前，竹影婆娑，推开，是一个宽敞的小院，四周便是房间，只有一层。如今早已拆了，成了一座六层的简易宿舍楼，仍是四面环合，楼名也仍称“勤业”；或许，是出于设计上的疏漏，一眼看去，很像是西方电影中的集中营，于是，被爱戏谑的年轻人起了一个不雅的外号：“集中营”。尽管，朱颜已改，面目全非，但遗落在这里的故事，仍然是美丽动人的。 陈景润的全部生命，几乎都消融在夜以继日的读书之中。他担心夜晚开灯读书太迟，会影响别人的休息，于是，做了一个巨大的黑色的大灯罩，罩着灯，也罩住了在灯下苦读的陈景润。当时，厦大处于前线，学校彻夜有武装民兵巡逻，警惕性极高的民兵发现这一异常的情况，曾持枪前去看个究竟，待终于了解其中缘由之后，才放心地离开了。对于读书的方法，陈景润在后来成名之后，在一篇文章中有一段十分精彩的自白： 我读书不只满足于读懂，而是要把读懂的东西背得滚瓜烂熟，熟能生巧嘛！我国著名的文学家鲁迅先生把他搞文学创作的经验总结成四句话： “静观默察，烂熟于心，凝思结想，然后一挥而就。”当时我走的就是这样一条路子，真是所见略同！当时我能把数、理、化的许多概念、公式、定理，一一装在自己的脑海里，随时拈来应用。 不得不佩服陈景润脚踏实地而又不乏机智的做学问本事，居然能把鲁迅先生从事文学创作的神思之功，融入数学王国的艰辛跋涉之旅。他在资料室工作期间，读过多少书，很难计算，也无法计算。知识的积累，需要有一个循序渐进的过程，科学高峰的攀登，更需要打下坚实而深厚的功底。神游知识的海洋，阅尽浪花、鸥鸟、飞帆、礁石，才能有幸真正领略大海的浩瀚和神秘。冰冻三尺，非一日之寒，陈景润在这一段时间的刻苦修炼，是奋飞前夕关键性的一搏。 要把书读到滚瓜烂熟，是需要付出沉重的劳动的，尤其是数学方面的书，没有情节、故事，没有押韵以及情感氛围，抽象的数学符号，编织着深奥、玄妙的特殊世界。只有痴迷其中的陈景润，才能听到鸣泉如诉如泣，才能看到月华如水，才能看到兀立的群峰闪烁着幽远、深邃的异彩。 不少数学著作又大又厚，携带十分不便，陈景润就把它一页页拆开来，随时带在身上，走到哪里读到哪里。这位可爱的“书痴”奇怪的读书方法，曾引起了一场小小的误会：数学系的老师时常看到陈景润拿着一页页散开的书在苦读，以为他把资料室的书拆掉了。后来，经过查实，陈景润拆的书全是自己的，对于公家的书，他惜之如金，从不去拆。公私分明，数学家的逻辑同样毫不含糊。 马克思有过一段脍炙人口的格言：“在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。”陈景润正是如此。 已经不是当穷学生的时候了，参加了工作的陈景润有了固定的工资收入，并且有了一个小巢。大海近在咫尺，春夏之交，火红的凤凰花开遍了厦大校园，游泳、跳舞、恋爱，多少人流连于大海之滨，花前月下，享受着令人羡慕的大学教师生活的丰富多彩，或者，尽情领略大自然的流光溢彩。而这一切，似乎都和陈景润无缘，他除了日常上班以外，就躲进图书馆或自己的那间小屋里，研究、学习他的数学。没有什么人特别注意他，也没有什么人更深地了解他。只有他，默默地，守着寂寞，守着自己那一片境界不凡的圣地。 历史，请你见证：勤业斋106室。
初试锋芒
他终于开始飞翔了。陈景润恰似一个久经修炼的俊杰，携剑下山，一出手，便令人眼花缭乱，惊座四周。 1956年，伟大领袖毛泽东同志审时度势，酝酿构建了宏伟的社会主义建设纲领《论十大关系》。高瞻远瞩的一代伟人，观四海于一瞬，集智慧于一身，在探索适合中国国情的艰难道路上初获战绩之后，向全国知识界科技界提出了一个响亮的口号：向科学进军！周恩来总理亲自主持制定了国家科学发展的远景规划。 天开云绽，中国的蓝天，一片明媚阳光。如火如荼，来自中南海浩荡的春风，在厦门大学激起层层波涛。学校党委闻风而动，根据国家科学发展的远景规划，组织数学系制定自己的科研工作规划。他们雄心不小：提出在12年内赶上或达到国际先进水平。这并非是吹牛皮放大炮，其时，这里藏龙卧虎，众贤毕集。特别引起人们注意的便是陈景润，根据他的科研方向，系里除了让他在资料室工作外，特地安排他担任“复变函数论”的助教，希望他借此可以得到锻炼，打好坚实的基础。 此时，陈景润才23岁。别看他几乎日夜是在闭门读书，而那一颗单纯的心，却并不乏年轻人的豪情壮志。他选择数论作为突破口，在老师们的指点下，集中力量，钻研华罗庚的名著《堆垒素数论》、《数论导引》，向科学的高峰发起沉雄有力的进攻。 这是一种特殊的攻坚途径，《堆垒素数论》是华罗庚大约于1940年，用8个月时间完成的。这本专著，全面论述了三角和估计及其在华林—哥德巴赫问题上的应用。全书12章，除西革尔关于算术数列素数定理未给证明外，所有定理的证明均包含在内。在这本丰碑式巨著中，展示了华罗庚在圆法、三角和估计及其应用上做出的重大贡献，还对世界级的数学大师、苏联的维诺格拉多夫的方法作了改进和简化。据报载，华罗庚在西南联大曾讲授过他的《堆垒素数论》，开始，慕名而来的学生将教室挤得水泄不通，后来一天天减少，减到4个，一星期后，只剩下2个，即后来成为著名数学家的闵嗣鹤和钟开来。教室里只剩下师徒三人，因昆明天天空袭不绝，华罗庚干脆把教室搬到华家附近，租屋而居，进行讲授。华氏的这本书实在是太深了。1941年，华罗庚曾把手稿寄给苏联的维诺格拉多夫，维诺格拉多夫立即以电报回复：“我们收到了你的优秀专著，待战争结束后，立即付印。”因此，这本书最早是1947年以苏联科学院“斯捷克洛夫数学研究所”第22号专著出版的。中国数学界对华罗庚的专著给予崇高的评价。而当时的教育部几乎无人能够评审此书。老一辈数学家何鲁冒着灼人的炎热，曾在重庆的一幢小楼上挥汗审勘，阅稿时不时击案叫绝，一再对人说：“此天才也！”他爱不释手，居然亲笔将《堆垒素数论》抄了一遍，何氏的手抄本曾存于中国科学院数学研究所图书馆中，不幸在“文革”劫难中散失。 陈景润悉心攻读华罗庚的《堆垒素数论》，其目的，是想将华罗庚的成果向前推进一步。初出茅庐，便向世界级的数学大师华罗庚挑战，木讷寡言看上去有点病恹恹的陈景润，何其大胆，何其气魄！ 当然这不是儿戏，陈景润也曾犹豫过：“这不是有点太不自量力了么？”他的思维是缜密的。知识可以塑造性格，一直遨游在抽象思维王国里的陈景润不乏持重和沉着。他去请教“复变函数”的主讲老师，老师远见卓识，热情鼓励他：“为什么不可推进前人的成果呢？不必顾虑重重了。现在的数学名著，它们的作者当然都是著名的，这些著作是他们的研究成果，但后来的年轻人如果不敢再进一步研究，写出论文来，数学又怎能向前发展呢？”老师的话语重心长，言简意赅，陈景润心里踏实了。 像一块砖那么厚的华罗庚的数学名著《堆垒素数论》，被陈景润一页页拆开了。他一个字一个字地研究，整整读了30多遍，几乎达到了滚瓜烂熟的地步。华氏的这本专著，是当代数论精萃汇聚的结晶。对于其中的每一个公式、定理，陈景润都进行反复的计算、核实。住在勤业斋的人们，只看到陈景润的门一天到晚都关着，偶尔，看到他出来买饭，人影一闪，又进了那间只有七平方米的小屋。庭院里，竹影和翠森森的芭蕉树相映成趣，光洁的石凳上，人们悠闲地谈天、消闲，领略海滨之夏的无限美意。而有谁能知道，闷在小屋中的陈景润正在进行着一场艰苦的鏖战呢！ 生活被陈景润简化得只剩下二个字：数论。他日夜兼程地驰骋于数论的天地里。睡眠很少。陈景润有一套独特的作息理论，在他的头脑里，没有失眠二字，他多次对人说过：失眠，就意味着不需要睡觉，那就爬起来工作吧！他困了，和衣一躺，一醒来，又继续工作。人们出于关心或好奇，有时也到陈景润的小屋中去看看，遍地都是草稿纸。数论的许多领域，是靠极为抽象的推理演算的，演算了多少道题，连他自己也没法计算了。飞驰的岁月，完全消融在单调、枯燥而又神妙无穷的一次次推理和演算之中。只有陈景润，才能领略其中的苦涩和乐趣。 一山让过一山拦。偌大的数论世界，似乎化作气象万千的昆仑、天山。草地如茵，雪杉如画，意尽之时，还有潺潺流水，流不尽地老天荒，更流不尽那令无数英雄竞折腰的雪山奇景。小径如梦，断落在奇绝的冰山大川之中。寒意沁人，五内皆凉了。万丈的悬崖，披挂着壁立的冰雪交融的垂帘，如突然凝固的瀑布，写尽了天下的雄奇和壮阔。雪莲盛开在冰峰如刀的寒光凛冽之中，恰似神话中的珍奇瑰宝。它属于尚未进入科学殿堂的无名之辈么？ 没有退缩，更不后悔，认准了一条路，便头也不回地往前奔。诱惑也罢，失败也罢，沮丧也罢，全不理会，也无暇去理会了。攻关，就需要这种近似傻子的执着和顽强精神。 当时，厦门并不平静。盘踞在金门岛的国民党残兵败将，不甘心自己在大陆的失败，时常无端地向厦门打炮，敌机常来骚扰。当凄厉警报声响起，陈景润往往仍在数学王国中神游，一直到全副武装的民兵，焦急地推开他的窗户，命令他立即撤离到屋后五老峰下的防空洞时，他才恋恋不舍地离开小屋。临走时，还不忘捎上几页书。防空洞中，人声嘈杂，他却可以顷刻沉缅在数论的蓝天里。清人王国维在《人间词话》中有一段精彩的描绘：“古今成大事业、大学问者，必经过三种之境界：‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路！’此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。’此第二境也；‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。’此第三境也。”用王国维形象的勾画来看陈景润，实在是太确切了。 阅尽沧海，陈景润以滴水穿石的精神和超凡的韧劲，终于把华罗庚这本极难啃的《堆垒素数论》吃透了。仿佛是灵感突兀而至，壁立千仞的群峰突然天门开启，华光四射。该书的第四章 ，某些三角和的中值定理是用华罗庚方法来处理低次多项式对应的三角和的中值公式。第五章 维诺格拉多夫的中值定理及其推论是用维诺格拉多夫方法来处理高次多项式对应的三角和的中值公式。熟读全书和神游了数论的浩瀚、渊博之后的陈景润发现，用第五章 的方法可以用来改进第四章 的某些结果。这便是当时数论中的中心问题之一“他利问题”。它跟哥德巴赫问题一样，吸引着数论学者的注意和探讨。华罗庚除了在《堆垒素数论》一书进行探讨之外，还曾在1952年6月份出版的《数学学报》上发表过《等幂和问题解数的研究》一文，专门讨论“他利问题”。这个问题归结为对指数函数积分的估计。文章中，华罗庚满怀期望地写道：“但至善的指数尚未获得，而成为待进一步研讨的问题。”如今，这个问题终于被陈景润攻克了。 这是了不起的战绩。首战告捷，初试锋芒，便震惊了数学界。陈景润将他几乎耗尽心血的成果，写成了一篇关于“他利问题”的论文。对于这篇论文的水平和价值，中国科学院数学研究所的行家们，至今的评价是：一个数学家一生中能有一个这样的发现，便算幸运了。它是属于教授级的。陈景润把自己这篇论文，激动地交给曾教过他的李文清等老师看，大家仔细审阅，十分满意。李文清老师把这篇论文辗转寄给了华罗庚。华罗庚认真审阅后，交给了数学所数论组的一批年轻人，经过大家反复核审，证明陈景润的想法和结果是正确的。华罗庚感慨万千地对他的弟子说：“你们呆在我的身边，倒让一个跟我素不相识的青年改进了我的工作。” 命运，向陈景润敞开了一扇洋溢着更有诱惑力的大门。
数的由来和发展2
你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"ｉ "表示"-1"的平方根，即ｉ＝，虚数就这样诞生了。"ｉ "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 ａ＋ｂｉ的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
数 系
数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成。
自 然 数
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。
集合的基数具有元素"个数"的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里"集合"、"含有"、"自然数"、"后粥"等是不加定义的。 ① 是自然数。 ② 不是任何其它自然数的后继。 ③ 每个自然数都有一个后继（a的后记为） ④ a/=b/蕴含a=b ⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a / 蕴含S含有 ，则S含有任何自然数。
公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…，n …}，简记为N。
从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
零的历史
对于零，首见要讨论的是，有两种相当重要的使用方式，而这两种使用的场合有一些不同。其中一个是在我们的位置符号系统中，零被当作空白位置的表示符号。因此，像是数字2106 中0 就被用来让2 与1 表示在正确的位置上。显然的216 的义意就与2106 相当的不同。在零的使用在概念上、符号表示上及名称上，就有钗h的不同。
这些不同的使用，就历史的角度都不是容易说的明白的。它就是没有某个人发明这个想法，继之钗h人开始使用它的历史。就客观的说法，零的使用一点也不是直觉的概念。数学的问题开始于真实的问题与抽象的问题。在早先历史里的数字被想成较为具体的事物与之今日的抽象概念数字是大不相同的。从五匹马到"五个事物"然后再到抽象的概念"五"是个很大的跳跃。如果古时人们解决有关农夫需要多少马匹的问题时，问题就不会是以0 或-23 来当作答案。
你可能认为对一个位置的数字系统来说会产生0 来作为空白位置的指示符号是必要的想法，as a empty place indicator is a necessary idea, 可是巴比伦人虽然有位置表示的数字系统，但是确超过一千年的时间没有这个表示空白位置的符号产生。加之完全没有任何的证据指出巴比伦人感觉到它们所使用的数字系统有令人模棱两可的严重问题。令人注意的是巴比伦数学的时期所保存下来的原始的文章里，符号是被压印进未烘干的泥板上，使用尖笔在软的泥板上书写，所以会留下楔形的形状的边，所以现在我们都把巴比伦的文字叫做楔形文字。钗h大约公元前一千七百年前附近的泥板被保存下来，并且清楚到可以让我们来辨别原始的文字。当然他们对数字的表达方式与现今是大不相同的，他们使用六十进制的而不是我们习惯的十进制。如果将它们的数字转换成我们的符号表示法，是无法辨认2106 与216 这两个数字间的不同的（巴比伦文章的前后关系可以指出它是什么数字）。这个问题直到公元前四百年前左右时巴比伦人才放进二个楔形的符号，就像我们将放进零来指示到底是216 或是21"6 。
这个两个楔形并不是唯一被使用的符号，在古美索不达米亚的巴比伦城东边的一座名为Kish（现今伊拉克的中南部）所发现的泥板上，就使用了不一样的符号。这个泥板被认定的时间大概在公元前七百年前，使用三个扣钩的符号来表示位置符号数字系统中的空白位置。其它的同时期的泥板使用一个扣钩的符号来表示空白的位置。有一个共同的特色是使用不同的记号来表示一个空白的位置。需指出一个事实是，它没有出现在数字位结尾处，但是却总是在两个位数字之间。所以尽管我们曾经发现21 ‘’6 ，但是却从没有看到216 ‘’ 的情形。你可能假想古时候的感觉那就是文章本身是充分指出所讨论的数是什么数字。
如果指出这种参照文章脉络的的前后关系是愚蠢的话，那么注意到我们今日仍用类似的方法来表达数字。如果我搭乘巴士到附近的城镇，当我询问车票的价格时，人车说是" "It‘s three fifty" 那么意思是三磅加五十便士。然而如果换作搭飞机从爱丁堡到纽约的机票价格，相同的答案，我们却知道是三百五十磅。
从这里我们了解早期零的使用是用来表示空白的位置而不是当作一个数字的零来使用，仅仅是当作某种标点符号标记使得数字能有正确的解释。
到现在，将零视为空白位置的表示符号都认为是古希腊对现今数学上的贡献，其实是从古巴比伦人的数学里就已经被使用了。然而希腊人并没有采用位置化的数字系统。思考这个事实的深远意义是很有价值的，也就是说光辉的希腊数学家们的成就并不能让他们采用巴比伦人已曾经使用具有各种优点的位置化数字系统？我们即将所谈论的这个问题的简单答案是较令人不可思议的，基本上我们必须知道希腊的数学成就是建立在几合上的。虽然欧几里得的几合原本Euclid’s Elements 是包含在一部探讨数论的书里，但是它是以几合为立基的。换句话说，希腊的数学家并不需要给数字命名，因为他们工作上所使用的数字就如同线段的长度一般。商人们使用的数用才须要被命名并记录下来，而数学家并不需要，因此不需要非常聪明的数字表示系统。
我们刚提及的事情是有例外的。例外的就是那些牵涉到记录复杂的天文数据的数学家们。今日我们所能认定的"表示零的符号"的最早符号使用记录，是由希腊的天文数学家使用符号O 所开始的。有钗h理论讨论为什么是使用这个特别的符号。某些历史学家倾向于把它视为omicron (希腊字母第十五个字母)的这种说法，然而Neugebauer 却不认为这个看法，因为希腊人已经使用omicron 当做70 这个数字了(希腊的数字系统是建立在它们的字母上的)，他认为是因为希腊字表示"没有东西"的第一个字读做"ouden"。其它的解释认为它建立在"obol"，一种古希腊的银币(几乎没有价值的钱币)而当计算的人在计算沙板所产生的。这里的猜测是当计算的人在沙上移去东西后所留下的空的圆柱形的凹陷部份，而它看起来就像是O。
托勒密在公元一百三十年左右时使用巴比伦人的六十进制系统连同表示空白位置的符号O。这个期间托勒密在数字间及数字尾端使用这个符号。您可能认为至此将零视为空白位置的表示符号终于坚实的确立了。但是然而这与事实是相距甚远的。仅有少数一些例外的天文学家使用这种标示法而之后很长的一段时间都没有人再使用它了。托勒密当然是把它当作某种的标点符号，而这种想法接着出现在印度的数学里。
现在让场影移动到印度，在这里可以公正的认为今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。当然这并不是说，印度的数字并未从早期的成就而来，钗h的数学史家相信印度人对零的使用是从希腊天文学家那儿演进而来的。而且一些数学史家似乎用非理性的方式刻意眨低印度人在数学发展上的贡献，也有人论断印度人发明零的事实太过于夸张。例如：Mukherjee 论断:-
... 这个零的数学概念... 也在从17 000年前的印度精神里表现出来。
可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位值系统而将零当作空白位置的表示符号。事实上有证据显示在公元二百年的印度就有位置数字系统的空白位置表示符号的使用了，但是一些历史家将它们视为伪造而不去注意到它们。让我们稍后再对这件事做个细查，因为它延续了上述讨论的发展。
在大约公元五百年左右Aryabhata 设计了一种数字系统，这种系统是位值系统但是还没有使用到零。他使用"kha" 这个字来表示位置并且后来被使用来称作零的名字。有证据显示，在早期的印度人的手写稿里，他们曾经使用小圆点来表示位值系统中的空白位置。有趣的是在同样的文件中有时也使用小圆点来表示未知数，而这在今日我们通常使用x 来表示它。较晚的印度数学家对零已赋与其名，但仍旧没有表示它的符号。众所公认的印度人使用零的最早记录是在公元八百七十六年所写下的。
我们有一段记载在石头上的铭文，在它上面有一个转换成公元的八百七十六年的日期数字。这段铭文是关于Delhi 南方四百公里的一座城镇Gwalior ，在这个城镇里他们用种植了二百七十株戟状植物，可每日供应足够当地神壂所需的五十个花环的数量。而记载所提及的270 及50 都表示成几乎就是今日的样子，稍微不同的只是零比较小而用浮雕的方式。
where they planted a garden 187 by 270 hastas which would produce enough flowers to allow 50 garlands per day to be given to the local temple. Both of the numbers 270 and 50 are denoted almost as they appear today although the 0 is smaller and slightly raised.
现在我们来讨论零被初次当作数字的事情。首先我们注意到就任何的角度来说，零作为数字的候选人都是极不自然的。从早期数字被视为一类物体相关的字词，之后数字的概念愈来愈抽象，这个抽象过程让人们思考到负数及零的数字变得很有可能的。当人们试着将零及负数视为数字的同时会产生的问题是它们在算术的加减乘除的运算中与其它的整数间的互相作用为何？在三本极重要的著书中，印度的数学家Brahmagupta，Mahavira 和Bhaskara 试着回答这些问题。
Brahmagupta 试着给出在七世纪时牵涉到零及负数的算数运算法则。他解释道：给定一个数然后你将此数与自己相减，然后就会得到零。接着给出了牵涉到零的加法法则：─
负数与零的和仍是负数，正数与零的和是正数，零与零的和仍旧是零。
减法就有些困难：─零减掉负数结果是正数，零减去正数的结果是负数；负数减去零结果仍是负数，正数减去零的结果仍是正数，而零减去零之结果仍旧是仍零。
Brahmagupta 接着说任何数乘上零结果是零，但是对于除法来说就遇到困难了：─当被零分割时也就是当零作为分数的分母时其结果是正数或是负数，当零被负数或是正数所除时结果都是零；或者可以表示成以零当作分子而有限量当作分母的分数。零除以零其结果是零。
实际上，当 Brahmagupta 在猜测 n 除以零表示成 n/0 的时候是谈论的相当少的。很显然的是他在此处遭遇到了困难。当他在论断零除以零得到结果是零的时候，当然是错的。然而从第一个人试着扩充运算法则到零及负数的这件事情来说，这是个伟大的尝试。
在公元八百三十年左右，就在 Brahmagupta 写下他的名作后约二百年后， Mahavira 写下了 Ganita Sara Samgraha 这本书，这本书是被设来作为 Brahmagupta 的书的更新版本。他正确的描述道：─
...一个数乘上零结果是零，一个数减去零后结果仍旧是本身。
然而这本试着增进 Brahmagupta的书，在描述被零分割的事情上似乎导致了错误。他写道：─一个数被零分割的结果似乎还是它自己并未改变。
因为这很明显是不正确的，但是你有否注意到我所使用的措词"似乎导致了错误"可视为令人困惑的。用词的原因是某些对于 Mahavira 这本书的评论家已试着找出对这种错误的陈述的辩解。
Bhaskara 这本书写成于 Brahmagupta 书成后五百年。不管时间的推移，他仍然对于除以零这个问题努力的作出解释。他写道：─一量被零分割变成一个分母是零的分数。这个分数被叫做无限量。尽管钗h的次序规则被吸收或是提出，虽然钗h可能被插入或是扩充，这个数是由零来做为它的除数是没有改变的，如同当世界被创造或摧毁时无限及永恒不变的神没有任何的改变发生一般。
所以 Bhaskara 试着藉由 n/0 = 来解决这个问题。一开始我们可能会倾向于相信 Bhaskara 让这件事情变得正确了。但是当然是没有的。如果对这是对的话，也就是说 0 乘上 一定等于任意数 n，所以所有的数都相同了。即使 Bhaskara 对于零的其它性质做了正确的描述，例如 02 = 0，以及 0 = 0。但是印度的数学家就是无法鼓起勇气来说一个数无法被零来分割。
也意识到在这个时间点有一个另外的文明发展了另一套位值数字系统还有零。也就是生活在中美洲的马雅人文明。今日占领这个区域的国家有墨西哥南部、瓜地马拉、及巴里斯的北部。这是一个古老的文明大约兴盛于公元二百五十年至九百年间。我们知道大约公元六百六十五年左右他们使用一种以二十为基底的位置数字系统而且有一个代表零的符号。然而他们对于零的使用回溯到较此时期更远的时候，甚至在他们采用位值数系之前就已经开始使用了。这是一项卓越的成就可惜并未对其他民族产生影响。
印度数学辉煌的成果被转译到较远西方，诸如伊斯兰的及阿拉伯的数学。在早期 al‘Khwarizmi 写下了 Al’Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning (印度人计算的艺术)，在书中描述了以印度数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 及 0 所建立起的位值系统。这项工作是在现在的伊拉克进行的，是最早使用零来当作空白位置的标示符号。Ibn Ezra 在十二世纪时写了三篇论文来探讨数字，有助于将印度的数字元号及十进制的分数概念带给欧洲博学的人们了解。这本书 The Book of the Number 描述了对整数的十进制系统及从左到右的位值表示系统。在这项工作里 ibn Ezra 将零称做 galgal ，意思是车轮或是圆圈。十二世纪稍晚时期， al-Samawal 写道：─
如果用零来减去一正数其结果是同值的负数 ... 如果我们用零减去负数其结果是同值的正数。
印度人的概念向东延伸到了中国就如同向西到了伊斯兰等国家。在公元一千二百四十七年中国的数字家 Ch‘in Chiu-Shao 所写的数学专论在讨论九分里就使用了 O 这个符号来代表零。稍后，在公元一千三百零三年， Chu Shih-Chieh 所写的 Jade mirror of the four elements 专论里又再次使用这个符号来表示零。
Fibonacci 是将有关数字系统的新观念带进欧洲的主要人物。
在印度─阿拉伯数字系统与欧洲数学之间的很重要的联结由意大利的数学家 Fibonacci 所建立的。
在公元一千二百年左右， Liber Abaci 为欧洲人介绍了印度的这九个数字连同 0 这个符号，但是却有很长的时间未被广范的使用。有件意义深远的事就是 Fibonacci 他并不够勇敢的将 0 与其它数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 视为一般，因为他把零读做"符号"零，而却称其它的叫做"数字"。显见的是，虽然将印度数字介绍给欧洲人是他的最主要的贡献，但是他对零的见解并没有达到印度数学家 Brahmagupta, Mahavira 和 Bhaskara 及像是 al-Samawal 等阿拉伯或伊斯兰数学家们的复杂程度。
你可能会认为数系的进步是普遍的而零却是特殊的，从现在起将变的稳固。然而，情形却不是这样。Cardan 在没有使用到零的情形下解决了三次及四次的方程式。如果他那个时候就有零的概念的话，在公元一千五百年左右，他会较容易的发现这些问题的解答。但这不是他的数学成就的一部份。在一千六百年左右的时候，零已经广为人所使用了，但是却是经历钗h的反抗之后才有的成果。
当然仍旧有因为零产生的问题。最近全世界到处都在公元二千年一月一日的时候庆助新的千禧年到来。当然他们庆助的是已经过去的一千九百九十九年，因为当有日历的时候，它是没有零年的。尽管人们将原谅这个根本的错误，但是有点令人惊奇的是大部份的人们似乎不能了解为什么第三个千禧年及第二十一世纪是从公元二千零一年一月一日才开始的事实。零仍旧引起钗h问题！
整 数
在自然数集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。称N中的元素为正整数，称0为零，称1，-2，-3，…，-n，…。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。
零不仅表示"无"它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。
中国最早引入了负数。《九童算术·方程》中论述的"正负术"，就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a1，b1），（a2，b2），如果a1+b2= a2+b1，就说（a1，b1）～（a2，b2），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。
有 理 数
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
引 起 数 学 危 机 的 无 理 数
无理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如 等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。
第一个被发现的无理数，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是 。他想，X代表对角线长，而 ，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，2是1和4之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了 等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。
无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
第二篇数的由来:数的由来和发展
数的由来和发展1
同学们你们知道吗?在远古时期没有数字,人们只是用豆子或系绳法来做记录.那么数字是怎么来的呢?相传是古代印度人一位牧羊童发明的.
这位小牧羊童每天都要到山上去放羊,时间长了他就觉得很无聊.为了消磨时光,他就在地上画了一个图形,后来他就把这个图形拆开来玩.有一天,他看着眼前的这些符号,忽然灵机一动,心想:我可以用这些符号来表示羊的数量呀!这样无论羊的数量是增加了,还是减少了,都用符号来表示,这不比用系绳法方便吗?接下来的几天里,他试了试,发现果然很方便.后来他把这个方法告诉了其他人.大家都夸小牧羊童想的办法真好,于是这种方法很快就传开了.经过不断地演化,这些符号就变成了现在的数字”1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9﹑0”.
大自然里的秘密还有很多很多,不信你就仔细观察,那里有许许多多的知识,但是,粗心的小朋友是得不到它的.
阿拉伯数字的来历
通常,我们把1、2、3、4……9、0称为”阿拉伯数字”.其实,这些数字并不是阿拉伯人创造的,它们最早产生于古代的印度.可是人们为什么又把它们称为”阿拉伯数字”呢?据传早在公元7世纪时，阿拉伯人渐渐地征服了周围的其他民族，建立起一个东起印度，西到非洲北部及西班牙的萨拉森大帝国。到后来，这个大帝国又分裂成为东西两个国家。由于两个国家的历代君主都注重文化艺术，所以两国的都城非常繁荣昌盛，其中东都巴格达更胜一筹。这样，西来的希腊文化，东来的印度文化，都汇集于此。阿拉伯人将两种文化理解并消化，形成了新的阿拉伯文化。
大约在公元750年左右，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫，把他随身带来的印度制作的天文表献给了当时的国王。印度数字1、2、3、4……以及印度式的计算方法，也就在这个时候介绍给了阿拉伯人。因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快就被阿拉伯人所接受了，并且逐渐地传播到欧洲各个国家。在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。
到后来，人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但是大家早已习惯了“阿拉伯数字”这个叫法，所以也就沿用下来了。
中国人民币发展史
货币被称为一个国家的”名片.”它既是价值尺度、流通手段,又是反映民族文化和精神风貌的艺术品.它是一个国家综合实力的体现,是一国政治、经济、文化、科技等的综合反映。人民币是中华人民共和国的法定货币.
我国目前共发行了五套人民币.1948年12月1日中国人民银行成立时开始发行人民币,也是我国第一套人民币.第二套人民币是1955年3月1日发行.1962年4月15日国务院批准中国人民银行发行了第三套人民币.第四套人民币于1987年4月27日发行.中国人民银行于1999年10月1日在全国发行了第五套(1999年版)人民币.
吴文俊的故事
吴文俊教授是我国著名的数学家.他能记住成千上万条烦琐的公式、定理和数据,但却记不住自己的生日.
吴教授60寿辰那一天,他的几个好朋友登门拜寿.正在埋头工作的吴教授,对今天是什么日子却茫然不知.其实吴教授的记忆力非常惊人.为改变数学家”一枝笔、一张纸、一个脑袋”的传统工作方式,他在已近花甲之年主持研究了一项名为”机器证明”的课题.在这项研究中吴文俊对电子计算机安装的日期及计算机编成的300多道”指令”的程序都记得一清二楚,不差分毫.
一位对数字特别敏感的数学家竟记不住自己的生日,朋友感到不解.面对老朋友你惑的目光,吴文俊解释说:”我从来不记那些没有意义的数字.在我看来,生日早一天,晚一天,没什么两样.所以,我自己的生日,爱人的生日,孩子的生日,我一概不记得,就连我结婚的日子也忘了.”
罗马数字的由来
罗马数字是古代罗马人创造的。古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。罗马数字很形象。如Ⅰ代表一个手指，Ⅴ就代表一只伸开的手，当然就是五个手指了，而Ⅹ呢，则代表两只伸开的手。13世纪以前欧洲各国普遍使用罗马数字来计数。实际上，罗马数字的符号一共只有七个：Ⅰ（代表1）、Ⅴ（代表5）、Ⅹ（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如“Ⅲ”表示“3”；“ⅩⅩⅩ”表示“30”。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“Ⅵ”表示“6”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“Ⅳ”表示“4”。
3． 加上横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数的一千倍。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了刑法，使他再也不能握笔写字。
十进制的来历和应用
人类最早用来计数的是手指、脚趾或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分1，2，3，4个手指，遇到5个的物体就伸出一只手，10个物体就伸出两只手。当数很多时就用小石子来计数，10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代表。
我国是世界上最早使用十进制记数的国家之一。商代甲骨文中已有十进制记数，十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。
现在通用的数码是印度——阿拉伯数码，用十进位制表示数。用0，1，2，3……9十个数码可表示任一数，低一位的数满十后进到一位上去。这种十进位制，现在看起来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。阿拉伯数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个，然而用这十个数字可以记出无限多的数。
每相邻的两个计数单位间的进率都是“十”的计数方法叫做十进制计数法。它遵循的原则是“逢十进一，退以当十”。
应用：10分=1角
10厘米=1分米，1丈=10尺
1斤=10两
“＞”“＜”和“＝”的来历
最常见的数学符号中有“＞”“＜”“＝”等，关于它们的来历是这样的：
等号“＝”在1540年首次被英国牛津大学的瑞柯德使用，后来经过法国数学家韦达和德国数学家莱布尼兹的使用，才为人们普遍接受。
大于号“＞”，小于号“＜”是英国数学家郝锐奥特的创造。
加号减号的来历
古希腊和印度人以前是把两个加数写在一起，表示加法，后来又有人用拉丁字母的P或P上加一横表示加。中世纪，据说，当时酒商在售出酒后，用线条“－”记录酒桶里的酒卖了多少。在把新酒灌入大桶时，就将线条“－”变为“﹢”，灌回多少酒就勾销多少条。商人在装货的箱子上画上一个“＋”表示超重，画一个“－”表示重量不足。久而久之，符号“＋”给人以相加的印象，“－”给人以相减的形象。达芬奇的画中也有“﹢”这个记号。
当时德国的数学家魏德曼巧妙地借用了当时商业中流行的“＋”和“－”号。1489年，在他的著作《简算和速算》一书中，把“＋”叫做加号，把“－”叫做减号。1514年，荷兰数学家赫克把它用作代数运算符号。后来在法国数学家韦达的大力宣传和提倡，“﹢”号，“－”才开始象现在这么普及。
直到1630年，才得到大家的公认。
时、分的由来
古人为了生活上的需要，把一天分为十二个时辰，就是子、丑、寅、卯等十二时。西方人把一天分为二十四个小时。一小时的六十分之一就是1分钟。
一切为了祖国
陈景润成了国际知名的大数学家，深受人们的敬重。但他并没有产生骄傲自满情绪，而是把功劳都归于祖国和人民。为了维护祖国的利益，他不惜牺牲个人的名利。 1977年的一天，陈景润收到一封国外来信，是国际数学家联合会主席写给他的，邀请他出席国际数学家大会。这次大会有3000人参加，参加的都是世界上著名的数学家。大会共指定了10位数学家作学术报告，陈景润就是其中之一。这对一位数学家而言，是极大的荣誉，对提高陈景润在国际上的知名度大有好处。 陈景润没有擅作主张，而是立即向研究所党支部作了汇报，请求党的指示。党支部把这一情况又上报到科学院。科学院的党组织对这个问题比较慎重，因为当时中国在国际数学家联合会的席位，一直被台湾占据着。 院领导回答道：“你是数学家，党组织尊重你个人的意见，你可以自己给他回信。”陈景润经过慎重考虑，最后决定放弃这次难得的机会。他在答复国际数学家联合会主席的信中写到：“第一，我们国家历来是重视跟世界各国发展学术交流与友好关系的，我个人非常感谢国际数学家联合会主席的邀请。第二，世界上只有一个中国，唯一能代表中国广大人民利益的是中华人民共和国，台湾是中华人民共和国不可分割的一部分。因为目前台湾占据着国际数学家联合会我国的席位，所以我不能出席。第三，如果中国只有一个代表的话，我是可以考虑参加这次会议的。”为了维护祖国母亲的尊严，陈景润牺牲了个人的利益。 1979年，陈景润应美国普林斯顿高级研究所的邀请，去美国作短期的研究访问工作。普林斯顿研究所的条件非常好，陈景润为了充分利用这样好的条件，挤出一切可以节省的时间，拼命工作，连中午饭也不回住处去吃。有时候外出参加会议，旅馆里比较嘈杂，他便躲进卫生间里，继续进行研究工作。正因为他的刻苦努力，在美国短短的五个月里，除了开会、讲学之外，他完成了论文《算术级数中的最小素数》，一下子把最小素数从原来的80推进到16。这一研究成果，也是当时世界上最先进的。 在美国这样物质比较发达的国度，陈景润依旧保持着在国内时的节俭作风。他每个月从研究所可获得2000美金的报酬，可以说是比较丰厚的了。每天中午，他从不去研究所的餐厅就餐，那里比较讲究，他完全可以享受一下的，但他都是吃自己带去的干粮和水果。他是如此的节俭，以至于在美国生活五个月，除去房租、水电花去1800美元外，伙食费等仅花了700美元。等他回时， 共节余了7500美元。 这笔钱在当时不是个小数目，他完全可以像其他人一样，从国外买回些高档家电。但他把这笔钱全部上交给国家。他是怎么想的呢? 用他自己的话说：“我们的国家还不富裕，我不能只想着自己享乐。” 陈景润就是这样一个非常谦虚、正直的人，尽管他已功成名就，然而他没有骄傲自满，他说：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正的高峰还没有有攀上去，还要继续努力。”
陈景润的故事
中国数学家、中国科学院院士。福建闽候人。 陈景润出生在一个小职员的家庭，上有哥姐、下有弟妹，排行第三。因为家里孩子多，父亲收入微薄，家庭生活非常拮据。因此，陈景润一出生便似乎成为父母的累赘，一个自认为是不爱欢迎的人。上学后，由于瘦小体弱，常受人欺负。这种特殊的生活境况，把他塑造成了一个极为内向、不善言谈的人，加上对数学的痴恋，更使他养成了独来独往、独自闭门思考的习惯，因此竟被别人认为是一个 “怪人”。陈景润毕生后选择研究数学这条异常艰辛的人生道路，与沈元教授有关。在他那里，陈景润第一次知道了哥德巴赫猜想，也就是从那里，陈景润第一刻起，他就立志去摘取那颗数学皇冠上的明珠。1953年，他毕业于厦门大学，留校在图书馆工作，但始终没有忘记哥德巴赫猜想，他把数学论文寄给华罗庚教授，华罗庚阅后非常赏识他的才华，把他调到中国科学院数学研究所当实习研究员，从此便有幸在华罗庚的指导下，向哥德巴赫猜想进军。1966年5月，一颗耀眼的新星闪烁于全球数学界的上空------陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的"1+2"；1972年2月，他完成了对"1+2"证明的修改。令人难以置信的是，外国数学家在证明"1+3"时用了大型高速计算机，而陈景润却完全靠纸、笔和头颅。如果这令人费解的话，那么他单为简化"1+2"这一证明就用去的6麻袋稿纸，则足以说明问题了。1973年，他发表的著名的"陈氏定理"，被誉为筛法的光辉顶点。 对于陈景润的成就，一位著名的外国数学家曾敬佩和感慨地誉：他移动了群山！
华罗庚的故事
中国数学家、数学教育家，中国科学院院士，江苏金坛人。 华罗庚的父亲是经营杂货店的小业主，由于经营惨淡，家境每况愈下，致使上中学不久的华罗庚辍学，当了杂货店的记账员。在繁琐、单调的劳作中，他并没有放弃最大的嗜好－－－数学研究。正在他发奋自学时，灾难从天而降－－－他染上了可怕的伤寒症，被医生判了“死刑”。然而，他竟然奇迹般地活了过来，但左腿却落下了终生残疾。他常挂在嘴边的是这样一句话：“所谓天才，就是靠坚持不断的努力。”这位没有大学文凭的数学家，凭着坚持不懈的努力，刻苦自学，于1930年，以《苏家驹之代数五次方程式不能成立的理由》的论文，而使中国数学界刮目相看。后被熊庆来教授推荐到清华大学数学系任助教 。在这里，他得益于熊庆来、杨武之的指导，学术上得以长足进步，并逐渐树立起他在世界数学界的地位。1948年应美国一所大学骋请任教。新中国成立后，他毅然放弃优越的工作和生活条件，携妻儿回国，担任清华大学数学系教授，后任中国科学院数学研究所所长。他十分重视和倡导把数学理论应用到生产实践中，并亲自组织和推广“优选法”、“统筹法”，使之在社会主义现代化建设中显示出了巨大的威力。他一生勤奋耕耘，共发表200余篇学术论文、10部专著。作为数学教育家，他培养出陈景润、王元、陆启铿等一批优秀的数学家，并形成了中国数学学派，有的人已成为世界级的数学家。 1985年6月12日，华罗庚在日本讲学时，因突发心肌梗塞而去世，终年75岁。一生以“最大希望就是工作到生命的最后一刻”自勉的华罗庚，将永远活在人民的心中。
“爱因斯坦”——陈景润
厦门，美称鹭岛。闻名遐迩的海上花园。位于大海之滨的厦门大学，背靠风光奇秀的五老峰。红墙，廊柱，琉璃瓦，依山傍海的校园建筑，像富丽而清纯的钢琴协奏曲，婉转悠扬，洋洋洒洒，尽情地抒发着南国的浪漫和妩媚。细细看去，不得不叹服校主陈嘉庚先生当年非凡的审美目光，中式的大屋顶，写意的飞檐吊角和西式的瓶形栏杆，和谐地构成它的庄重和飘逸，历经风霜大半个世纪，依然如风姿绰约的丽人，洋溢着迷人的异彩。 陈景润是幸运的。1949年秋，福州解放，他尚是16岁的高二学生。满目红旗如火，他所在的班级，被命名为“朝阳班”。新中国如灿烂的红日，从地平线上冉冉升起，那斑斓的万道金光同样把他的心照亮了。他对未来充满了期望。1950年春夏之交，他高中尚未毕业，毅然以“同等学力”的资格，报考素有“南方之强”美称的厦门大学。他被录取了。 当时去念厦大，是颇有点胆量的。因为，抬头便可望见仅一水之隔的国民党控制的金门诸岛。炮声不断。红旗插上了厦门岛，但空中却未完全解放，我空军部队尚未入闽，国民党反动派倚仗他们的几架飞机，常来骚扰。因此陈景润的家里人出于安全和爱护，曾劝陈景润就近在福州念大学，而一心向往厦大的陈景润，却毫不动摇，当家里人委婉地以经济原因挽留他留福州就读时，他倔强地回答：“就是走路，我也要走到厦大去！”莫非，这一片钟灵毓秀之地早已辉映在这位未来大数学家的心中么？ 第一次出现在厦大校园中的陈景润，毫不引人注目，他穿着一身黑色的学生装，头戴黑色的学生帽，脚上是当时被称为万里鞋的一种最普通的胶底鞋子，提着一个已经很破旧的小藤箱，一个小小的被盖卷，外加一件他哥哥送给他的旧大衣。他哥哥是解放前厦大法律系的毕业生，深知秋冬海风的凛冽，特地把自己的大衣给陈景润御寒。对生活一贯毫不在意的陈景润，全部思绪很快就被厦大优裕的学习环境紧紧地吸引住了。 当时，陈景润念的是数理系，入学时只有3个学生，后来，上一届留下的1个同学编了进来，4个学生一个班，老师几乎是手把手教他们的。学生宿舍在博学楼，也就是当今的厦门大学人类博物馆。走进由著名画家徐悲鸿先生亲自题写门匾的这座花岗石建筑，仍然可以寻觅到陈景润当年住的宿舍：123号房间。当时，6个学生住一间。陈景润睡的是下铺。神往和钟情数学的陈景润，正如高尔基所描绘的：像一个饥饿的人扑在面包上一样。他很快就陷入了痴迷的状态。 早在中学，他就开始涉猎大学课程，如今进了大学，他怎肯轻易罢休。时间，被他分解成一个个已是无法切开的小单元，而他把这一切全用于如饥似渴的学习中了。说来让人难以置信，身居厦大，抬头便可以透过海光岚影看到楚楚动人的世界级风景区鼓浪屿，而陈景润却一次也没有去过。近在咫尺的南国名寺南普陀，一派金碧辉煌，晨钟暮鼓，他也极少涉足，更莫提花花绿绿的厦门市区了。他的生活节俭到令人难以想象的程度，每月只用3—4元钱的伙食费，同学们常看到他只用馒头就咸菜充饥。厦门海鲜多，当时价格也相当便宜，他为了节省，很少挑选这些较好的菜肴。其时，建南大礼堂未建设，学校的东膳厅，每逢周末放电影，门票只须5分钱，三年大学生活，陈景润一次电影也没看过。为了节省衣服，他洗衣服也舍不得用力去搓，往往只是在水里泡一泡，抖一抖就提起来，晒干，再穿在身上。耐得住清贫，是一种可贵的品格，正如方志敏烈士在《清贫》一文中所写的那样：“清贫，正是革命者战胜许多困难的地方。”解放初期，陈景润的家境，因为父亲没有工作，而显得有些窘迫，但陈景润的节俭并非完全是经济原因。80年代他成名之后，经济条件很不错了，他依然如此，一架小型的收录机，学英语用，也是向数学所借的。到美国、英国讲学，对方付了一笔颇丰的讲学金，他也只用很少一部分，大部分积累起来献给了国家。他不愿意把过多时间和精力放在生活上，觉得愈简单愈好。至今，陈景润的姐姐仍保留着陈景润念大学时用的那个破旧的小藤箱。箱内，一双穿透了的万里鞋和几件破旧的衣服，默默地向世人昭示着这一段耐人回味的岁月。 陈景润把所有的精力都用在学习上了。他读书有一套自己暗中制订的“高标准”，每天，他除了完成老师布置的作业外，自己还要根据学习的课程完成一批作业题，少则几十道，多则上百道。每到傍晚，夕阳映红大海时分，逢到潮汛，海滨上一片欢声笑语，人们前去游泳，尽情领略大自然美好的馈赠。而陈景润却是穿着那双露出脚指的万里鞋，前到老师的住处送作业，请老师予以修改、指教。婆娑的木麻黄已经成林，柔情依依的相思树，更是消融了无数流逝的岁月，一代数学奇才陈景润，却是捏着时间的秒表，为人们留下了永恒的记忆。 攀登科学的高峰是不容易的，那是一步一步踏踏实实的跋涉，是以青春热血甚至宝贵的生命为代价的悲壮的拼搏。陈景润的身体瘦弱，脸色苍白，带着明显的病容，他害怕看病耽搁时间，结果生了病也不去看。实在坚持不住了，就躺在床上，一边看书，一边算是静养。 他准备了一个手电筒，那是夜晚读书用的，当时厦大虽然没有熄灯制度，但他也担心影响别人休息，到了深夜，就在被窝中拧亮手电读书。这种特殊的读书方式和习惯，一直延续到他在北京中关村工作时期。“文革”大劫，陈景润被揪到“牛棚”中，备受凌辱折磨。有一回，到处找不到陈景润，人们以为他逃跑了，四处搜寻，皆不见踪影。后来，才发现他就在“牛棚”中的一卷被窝里，瘦小的他躺在被窝中拧着手电看书。一烛亮光如豆，居然照耀着他大半生跋涉征途。清冷也罢，寂寞也罢，只有他独自能够真正地品出其中的甘苦和绵长了。 他学习真正到忘我的程度，有一回，从食堂回来，厦门的天气多变，一阵海风，忽然吹来了一片雨幕，同学们见状都飞跑起来，只有他独自漫步着，在雨帘中依然是那么地沉稳自在。他的同班同学杨锡安惊奇地问：“你不淋雨么？”他才恍然大悟，说道，他根本没有感觉到下雨，他的心绪全部沉缅到一片书海中去了。一个人痴迷到如此，便必然引起众人的注目，像中学生起绰号一样，他的同学同样毫不客气地称他是“爱因斯坦”。当然，此时的陈景润和以提出相对论改写了一个时代科学史的爱因斯坦难以相提并论，但他那种近似拗相公的执着，那种嗜书如命的忘我精神，却是一脉相承的，每一个成功的科学家，几乎都要经过这段“炼狱”式的旅程。 陈景润的同乡、校友、知交，中国科学院数学所的林群院士，对于陈景润的成功有一段异常精辟的见解：“科学好比登山，有的人登上一座山，浏览峰顶的风光，就满足而归了。而陈景润却不一样，他同样登山，倘若上山有十条小径，他每一条小径都要去爬一次。他重视的不全是结果，而是贵在过程。直到把上山的所有的路全摸透了，他才会感到满足。功底、基础就是这样一步一个脚印建立起来的。”大学生时代的陈景润，日日解题不息，并且乐在其中，原因便在于此。 他依然保持着中学时那种沉默并近似孤僻的性格，独自在数学的王国中遨游。有一段时间，被检查出患了肺结核，不得不去住院，身体稍有好转，就回来继续念书。有时，居然连洗脸、刷牙也忘了。解放初期，大学中开展知识分子思想改造运动，主要在教师中进行，偶尔也会“烧”到学生头上，陈景润对政治运动是门外汉，这一回却被“烧”着了，他同样到大会上去做“检查”，非常虔诚地检讨自己，并且向大家保证：今后一定讲卫生，天天洗脸刷牙。没有人笑他。这位厦大颇有点名气的“爱因斯坦”能够做到这一点，就很不错了。
勤业斋106室
“王校长！王校长——”轻声清晰的呼唤，忽地牵住了王亚南校长的脚步。正在福州市大街上行走的这位第一个把马克思的《资本论》译成中文，声名远播的我国著名经济学专家，怎么也不会相信眼前严峻的事实：陈景润正在大街上摆香烟摊和出租小人书摊。 这真是极富戏剧色彩的巧遇：当年厦大出名的“爱因斯坦”，怎会沦落到如此狼狈的地步呢？1954年，我国已经结束了国民经济恢复时期，开始实施第一个五年计划，到处在呼唤人才，而陈景润却失业了，生活无着，在福州摆小摊度日。 他的境遇，使王亚南受到强烈的震撼。 人生的道路并非全是明媚的春光。鲜花、太阳，并不会廉价地钟情于每一个幸运者。1953年，国家急需人才，陈景润他们这一届的学生根据安排，全部提前一年毕业，奔赴百业待兴的各条战线。全班四个同学，三位留在厦门大学工作，陈景润被分配到北京四中任教。当时，能到首都工作，是一种荣耀。然而，习惯于在数学王国中踽踽而行的陈景润，学业精深，且不乏聪明才智，但一站到如鸽子般天真纯洁且吱吱喳喳的中学生面前，便全慌了。他天性不善言辞，木讷有余，毫不活泼。他苦心钻研的数学，如著名作家徐迟所形容的，是天山雪莲，绝世牡丹，而现实却需要他去给中学生讲最简单的一元一次方程。人生严重错位，他不知所措，又不善周旋，更不会如现代人那样去找人通融一下关节，调换一个岗位。于是，陈景润被学校辞退了。一个人灰溜溜地回故乡福州。没有了工资，生存受到了威胁，出于无奈，只好像解放初期那些城里无业的游民那样，靠摆小摊过日子了。 了解到全部情况的王亚南校长心疼了。说实话，他并非在当时就看到陈景润日后的辉煌，而只是出自于对自己学生的爱护。他热爱学生是有口皆碑的，曾把翻译《资本论》的稿费全部用于给厦门大学学生支付讲义费，给贫困学生买鞋穿，可以说，有千千万万的厦大学生享受过他高尚真挚的慈爱和恩泽。世事不公。“文革”大劫，奉周恩来总理之命回厦大担任革委会主任的王亚南校长，突遭暗算，一夜之间，被打成“走资派”、“黑帮”、“反动学术权威”，惨遭迫害、批斗，终于诱发了绝症，死在上海。对于他的去世，周总理悲愤地给厦大当时处于两派内战的师生发来电报：两派师生应联合起来开追悼会，向王亚南校长的遗像默哀、告别。此时，人们才感到痛失这位德高望重老校长的不幸和哀伤，为时委实太晚了。 王亚南校长把陈景润带回厦大。他是真正懂得人才价值的。他和数学系的领导商量，让陈景润在系资料室工作，这里书香温馨，很适合陈景润的个性和特长。陈景润获救了。 这次失业的遭遇，给陈景润心灵留下浓重的阴影。人的第一个基本要素是求生存，当经济来源断绝，三餐吃饭都成为问题的时候，要去搞科研攀登科学高峰同样是不可能的。从此，陈景润更节俭了，尽管身在书斋，他总是担心会再次失业，会再次去摆香烟摊和出租小人书摊，去品味那社会最底层人们生活的苦涩和晦暗。这种特殊的“忧患”意识，几乎陪伴了陈景润的一生。他把节俭下来的钱存下来，通晓数学的他，担心钱会贬值，就把它换成了金戒指等硬通货。他时时防备着，一旦不幸失业，他仍然可以去研究他的数学。 重回厦大的陈景润，经过这次意外的人生变故，显得更为沉默和孤独了。他百倍珍惜得来不易的机遇，恨不得把所有的时间都花在他所钟爱的数学研究之中。他分得了一个小房间，勤业斋106室。勤业斋是有点像北京四合院式的旧式建筑，门前，竹影婆娑，推开，是一个宽敞的小院，四周便是房间，只有一层。如今早已拆了，成了一座六层的简易宿舍楼，仍是四面环合，楼名也仍称“勤业”；或许，是出于设计上的疏漏，一眼看去，很像是西方电影中的集中营，于是，被爱戏谑的年轻人起了一个不雅的外号：“集中营”。尽管，朱颜已改，面目全非，但遗落在这里的故事，仍然是美丽动人的。 陈景润的全部生命，几乎都消融在夜以继日的读书之中。他担心夜晚开灯读书太迟，会影响别人的休息，于是，做了一个巨大的黑色的大灯罩，罩着灯，也罩住了在灯下苦读的陈景润。当时，厦大处于前线，学校彻夜有武装民兵巡逻，警惕性极高的民兵发现这一异常的情况，曾持枪前去看个究竟，待终于了解其中缘由之后，才放心地离开了。对于读书的方法，陈景润在后来成名之后，在一篇文章中有一段十分精彩的自白： 我读书不只满足于读懂，而是要把读懂的东西背得滚瓜烂熟，熟能生巧嘛！我国著名的文学家鲁迅先生把他搞文学创作的经验总结成四句话： “静观默察，烂熟于心，凝思结想，然后一挥而就。”当时我走的就是这样一条路子，真是所见略同！当时我能把数、理、化的许多概念、公式、定理，一一装在自己的脑海里，随时拈来应用。 不得不佩服陈景润脚踏实地而又不乏机智的做学问本事，居然能把鲁迅先生从事文学创作的神思之功，融入数学王国的艰辛跋涉之旅。他在资料室工作期间，读过多少书，很难计算，也无法计算。知识的积累，需要有一个循序渐进的过程，科学高峰的攀登，更需要打下坚实而深厚的功底。神游知识的海洋，阅尽浪花、鸥鸟、飞帆、礁石，才能有幸真正领略大海的浩瀚和神秘。冰冻三尺，非一日之寒，陈景润在这一段时间的刻苦修炼，是奋飞前夕关键性的一搏。 要把书读到滚瓜烂熟，是需要付出沉重的劳动的，尤其是数学方面的书，没有情节、故事，没有押韵以及情感氛围，抽象的数学符号，编织着深奥、玄妙的特殊世界。只有痴迷其中的陈景润，才能听到鸣泉如诉如泣，才能看到月华如水，才能看到兀立的群峰闪烁着幽远、深邃的异彩。 不少数学著作又大又厚，携带十分不便，陈景润就把它一页页拆开来，随时带在身上，走到哪里读到哪里。这位可爱的“书痴”奇怪的读书方法，曾引起了一场小小的误会：数学系的老师时常看到陈景润拿着一页页散开的书在苦读，以为他把资料室的书拆掉了。后来，经过查实，陈景润拆的书全是自己的，对于公家的书，他惜之如金，从不去拆。公私分明，数学家的逻辑同样毫不含糊。 马克思有过一段脍炙人口的格言：“在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。”陈景润正是如此。 已经不是当穷学生的时候了，参加了工作的陈景润有了固定的工资收入，并且有了一个小巢。大海近在咫尺，春夏之交，火红的凤凰花开遍了厦大校园，游泳、跳舞、恋爱，多少人流连于大海之滨，花前月下，享受着令人羡慕的大学教师生活的丰富多彩，或者，尽情领略大自然的流光溢彩。而这一切，似乎都和陈景润无缘，他除了日常上班以外，就躲进图书馆或自己的那间小屋里，研究、学习他的数学。没有什么人特别注意他，也没有什么人更深地了解他。只有他，默默地，守着寂寞，守着自己那一片境界不凡的圣地。 历史，请你见证：勤业斋106室。
初试锋芒
他终于开始飞翔了。陈景润恰似一个久经修炼的俊杰，携剑下山，一出手，便令人眼花缭乱，惊座四周。 1956年，伟大领袖毛泽东同志审时度势，酝酿构建了宏伟的社会主义建设纲领《论十大关系》。高瞻远瞩的一代伟人，观四海于一瞬，集智慧于一身，在探索适合中国国情的艰难道路上初获战绩之后，向全国知识界科技界提出了一个响亮的口号：向科学进军！周恩来总理亲自主持制定了国家科学发展的远景规划。 天开云绽，中国的蓝天，一片明媚阳光。如火如荼，来自中南海浩荡的春风，在厦门大学激起层层波涛。学校党委闻风而动，根据国家科学发展的远景规划，组织数学系制定自己的科研工作规划。他们雄心不小：提出在12年内赶上或达到国际先进水平。这并非是吹牛皮放大炮，其时，这里藏龙卧虎，众贤毕集。特别引起人们注意的便是陈景润，根据他的科研方向，系里除了让他在资料室工作外，特地安排他担任“复变函数论”的助教，希望他借此可以得到锻炼，打好坚实的基础。 此时，陈景润才23岁。别看他几乎日夜是在闭门读书，而那一颗单纯的心，却并不乏年轻人的豪情壮志。他选择数论作为突破口，在老师们的指点下，集中力量，钻研华罗庚的名著《堆垒素数论》、《数论导引》，向科学的高峰发起沉雄有力的进攻。 这是一种特殊的攻坚途径，《堆垒素数论》是华罗庚大约于1940年，用8个月时间完成的。这本专著，全面论述了三角和估计及其在华林—哥德巴赫问题上的应用。全书12章，除西革尔关于算术数列素数定理未给证明外，所有定理的证明均包含在内。在这本丰碑式巨著中，展示了华罗庚在圆法、三角和估计及其应用上做出的重大贡献，还对世界级的数学大师、苏联的维诺格拉多夫的方法作了改进和简化。据报载，华罗庚在西南联大曾讲授过他的《堆垒素数论》，开始，慕名而来的学生将教室挤得水泄不通，后来一天天减少，减到4个，一星期后，只剩下2个，即后来成为著名数学家的闵嗣鹤和钟开来。教室里只剩下师徒三人，因昆明天天空袭不绝，华罗庚干脆把教室搬到华家附近，租屋而居，进行讲授。华氏的这本书实在是太深了。1941年，华罗庚曾把手稿寄给苏联的维诺格拉多夫，维诺格拉多夫立即以电报回复：“我们收到了你的优秀专著，待战争结束后，立即付印。”因此，这本书最早是1947年以苏联科学院“斯捷克洛夫数学研究所”第22号专著出版的。中国数学界对华罗庚的专著给予崇高的评价。而当时的教育部几乎无人能够评审此书。老一辈数学家何鲁冒着灼人的炎热，曾在重庆的一幢小楼上挥汗审勘，阅稿时不时击案叫绝，一再对人说：“此天才也！”他爱不释手，居然亲笔将《堆垒素数论》抄了一遍，何氏的手抄本曾存于中国科学院数学研究所图书馆中，不幸在“文革”劫难中散失。 陈景润悉心攻读华罗庚的《堆垒素数论》，其目的，是想将华罗庚的成果向前推进一步。初出茅庐，便向世界级的数学大师华罗庚挑战，木讷寡言看上去有点病恹恹的陈景润，何其大胆，何其气魄！ 当然这不是儿戏，陈景润也曾犹豫过：“这不是有点太不自量力了么？”他的思维是缜密的。知识可以塑造性格，一直遨游在抽象思维王国里的陈景润不乏持重和沉着。他去请教“复变函数”的主讲老师，老师远见卓识，热情鼓励他：“为什么不可推进前人的成果呢？不必顾虑重重了。现在的数学名著，它们的作者当然都是著名的，这些著作是他们的研究成果，但后来的年轻人如果不敢再进一步研究，写出论文来，数学又怎能向前发展呢？”老师的话语重心长，言简意赅，陈景润心里踏实了。 像一块砖那么厚的华罗庚的数学名著《堆垒素数论》，被陈景润一页页拆开了。他一个字一个字地研究，整整读了30多遍，几乎达到了滚瓜烂熟的地步。华氏的这本专著，是当代数论精萃汇聚的结晶。对于其中的每一个公式、定理，陈景润都进行反复的计算、核实。住在勤业斋的人们，只看到陈景润的门一天到晚都关着，偶尔，看到他出来买饭，人影一闪，又进了那间只有七平方米的小屋。庭院里，竹影和翠森森的芭蕉树相映成趣，光洁的石凳上，人们悠闲地谈天、消闲，领略海滨之夏的无限美意。而有谁能知道，闷在小屋中的陈景润正在进行着一场艰苦的鏖战呢！ 生活被陈景润简化得只剩下二个字：数论。他日夜兼程地驰骋于数论的天地里。睡眠很少。陈景润有一套独特的作息理论，在他的头脑里，没有失眠二字，他多次对人说过：失眠，就意味着不需要睡觉，那就爬起来工作吧！他困了，和衣一躺，一醒来，又继续工作。人们出于关心或好奇，有时也到陈景润的小屋中去看看，遍地都是草稿纸。数论的许多领域，是靠极为抽象的推理演算的，演算了多少道题，连他自己也没法计算了。飞驰的岁月，完全消融在单调、枯燥而又神妙无穷的一次次推理和演算之中。只有陈景润，才能领略其中的苦涩和乐趣。 一山让过一山拦。偌大的数论世界，似乎化作气象万千的昆仑、天山。草地如茵，雪杉如画，意尽之时，还有潺潺流水，流不尽地老天荒，更流不尽那令无数英雄竞折腰的雪山奇景。小径如梦，断落在奇绝的冰山大川之中。寒意沁人，五内皆凉了。万丈的悬崖，披挂着壁立的冰雪交融的垂帘，如突然凝固的瀑布，写尽了天下的雄奇和壮阔。雪莲盛开在冰峰如刀的寒光凛冽之中，恰似神话中的珍奇瑰宝。它属于尚未进入科学殿堂的无名之辈么？ 没有退缩，更不后悔，认准了一条路，便头也不回地往前奔。诱惑也罢，失败也罢，沮丧也罢，全不理会，也无暇去理会了。攻关，就需要这种近似傻子的执着和顽强精神。 当时，厦门并不平静。盘踞在金门岛的国民党残兵败将，不甘心自己在大陆的失败，时常无端地向厦门打炮，敌机常来骚扰。当凄厉警报声响起，陈景润往往仍在数学王国中神游，一直到全副武装的民兵，焦急地推开他的窗户，命令他立即撤离到屋后五老峰下的防空洞时，他才恋恋不舍地离开小屋。临走时，还不忘捎上几页书。防空洞中，人声嘈杂，他却可以顷刻沉缅在数论的蓝天里。清人王国维在《人间词话》中有一段精彩的描绘：“古今成大事业、大学问者，必经过三种之境界：‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路！’此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。’此第二境也；‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。’此第三境也。”用王国维形象的勾画来看陈景润，实在是太确切了。 阅尽沧海，陈景润以滴水穿石的精神和超凡的韧劲，终于把华罗庚这本极难啃的《堆垒素数论》吃透了。仿佛是灵感突兀而至，壁立千仞的群峰突然天门开启，华光四射。该书的第四章 ，某些三角和的中值定理是用华罗庚方法来处理低次多项式对应的三角和的中值公式。第五章 维诺格拉多夫的中值定理及其推论是用维诺格拉多夫方法来处理高次多项式对应的三角和的中值公式。熟读全书和神游了数论的浩瀚、渊博之后的陈景润发现，用第五章 的方法可以用来改进第四章 的某些结果。这便是当时数论中的中心问题之一“他利问题”。它跟哥德巴赫问题一样，吸引着数论学者的注意和探讨。华罗庚除了在《堆垒素数论》一书进行探讨之外，还曾在1952年6月份出版的《数学学报》上发表过《等幂和问题解数的研究》一文，专门讨论“他利问题”。这个问题归结为对指数函数积分的估计。文章中，华罗庚满怀期望地写道：“但至善的指数尚未获得，而成为待进一步研讨的问题。”如今，这个问题终于被陈景润攻克了。 这是了不起的战绩。首战告捷，初试锋芒，便震惊了数学界。陈景润将他几乎耗尽心血的成果，写成了一篇关于“他利问题”的论文。对于这篇论文的水平和价值，中国科学院数学研究所的行家们，至今的评价是：一个数学家一生中能有一个这样的发现，便算幸运了。它是属于教授级的。陈景润把自己这篇论文，激动地交给曾教过他的李文清等老师看，大家仔细审阅，十分满意。李文清老师把这篇论文辗转寄给了华罗庚。华罗庚认真审阅后，交给了数学所数论组的一批年轻人，经过大家反复核审，证明陈景润的想法和结果是正确的。华罗庚感慨万千地对他的弟子说：“你们呆在我的身边，倒让一个跟我素不相识的青年改进了我的工作。” 命运，向陈景润敞开了一扇洋溢着更有诱惑力的大门。
数的由来和发展2
你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"ｉ "表示"-1"的平方根，即ｉ＝，虚数就这样诞生了。"ｉ "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 ａ＋ｂｉ的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
数 系
数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成。
自 然 数
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。
集合的基数具有元素"个数"的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里"集合"、"含有"、"自然数"、"后粥"等是不加定义的。 ① 是自然数。 ② 不是任何其它自然数的后继。 ③ 每个自然数都有一个后继（a的后记为） ④ a/=b/蕴含a=b ⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a / 蕴含S含有 ，则S含有任何自然数。
公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…，n …}，简记为N。
从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
零的历史
对于零，首见要讨论的是，有两种相当重要的使用方式，而这两种使用的场合有一些不同。其中一个是在我们的位置符号系统中，零被当作空白位置的表示符号。因此，像是数字2106 中0 就被用来让2 与1 表示在正确的位置上。显然的216 的义意就与2106 相当的不同。在零的使用在概念上、符号表示上及名称上，就有钗h的不同。
这些不同的使用，就历史的角度都不是容易说的明白的。它就是没有某个人发明这个想法，继之钗h人开始使用它的历史。就客观的说法，零的使用一点也不是直觉的概念。数学的问题开始于真实的问题与抽象的问题。在早先历史里的数字被想成较为具体的事物与之今日的抽象概念数字是大不相同的。从五匹马到"五个事物"然后再到抽象的概念"五"是个很大的跳跃。如果古时人们解决有关农夫需要多少马匹的问题时，问题就不会是以0 或-23 来当作答案。
你可能认为对一个位置的数字系统来说会产生0 来作为空白位置的指示符号是必要的想法，as a empty place indicator is a necessary idea, 可是巴比伦人虽然有位置表示的数字系统，但是确超过一千年的时间没有这个表示空白位置的符号产生。加之完全没有任何的证据指出巴比伦人感觉到它们所使用的数字系统有令人模棱两可的严重问题。令人注意的是巴比伦数学的时期所保存下来的原始的文章里，符号是被压印进未烘干的泥板上，使用尖笔在软的泥板上书写，所以会留下楔形的形状的边，所以现在我们都把巴比伦的文字叫做楔形文字。钗h大约公元前一千七百年前附近的泥板被保存下来，并且清楚到可以让我们来辨别原始的文字。当然他们对数字的表达方式与现今是大不相同的，他们使用六十进制的而不是我们习惯的十进制。如果将它们的数字转换成我们的符号表示法，是无法辨认2106 与216 这两个数字间的不同的（巴比伦文章的前后关系可以指出它是什么数字）。这个问题直到公元前四百年前左右时巴比伦人才放进二个楔形的符号，就像我们将放进零来指示到底是216 或是21"6 。
这个两个楔形并不是唯一被使用的符号，在古美索不达米亚的巴比伦城东边的一座名为Kish（现今伊拉克的中南部）所发现的泥板上，就使用了不一样的符号。这个泥板被认定的时间大概在公元前七百年前，使用三个扣钩的符号来表示位置符号数字系统中的空白位置。其它的同时期的泥板使用一个扣钩的符号来表示空白的位置。有一个共同的特色是使用不同的记号来表示一个空白的位置。需指出一个事实是，它没有出现在数字位结尾处，但是却总是在两个位数字之间。所以尽管我们曾经发现21 ‘’6 ，但是却从没有看到216 ‘’ 的情形。你可能假想古时候的感觉那就是文章本身是充分指出所讨论的数是什么数字。
如果指出这种参照文章脉络的的前后关系是愚蠢的话，那么注意到我们今日仍用类似的方法来表达数字。如果我搭乘巴士到附近的城镇，当我询问车票的价格时，人车说是" "It‘s three fifty" 那么意思是三磅加五十便士。然而如果换作搭飞机从爱丁堡到纽约的机票价格，相同的答案，我们却知道是三百五十磅。
从这里我们了解早期零的使用是用来表示空白的位置而不是当作一个数字的零来使用，仅仅是当作某种标点符号标记使得数字能有正确的解释。
到现在，将零视为空白位置的表示符号都认为是古希腊对现今数学上的贡献，其实是从古巴比伦人的数学里就已经被使用了。然而希腊人并没有采用位置化的数字系统。思考这个事实的深远意义是很有价值的，也就是说光辉的希腊数学家们的成就并不能让他们采用巴比伦人已曾经使用具有各种优点的位置化数字系统？我们即将所谈论的这个问题的简单答案是较令人不可思议的，基本上我们必须知道希腊的数学成就是建立在几合上的。虽然欧几里得的几合原本Euclid’s Elements 是包含在一部探讨数论的书里，但是它是以几合为立基的。换句话说，希腊的数学家并不需要给数字命名，因为他们工作上所使用的数字就如同线段的长度一般。商人们使用的数用才须要被命名并记录下来，而数学家并不需要，因此不需要非常聪明的数字表示系统。
我们刚提及的事情是有例外的。例外的就是那些牵涉到记录复杂的天文数据的数学家们。今日我们所能认定的"表示零的符号"的最早符号使用记录，是由希腊的天文数学家使用符号O 所开始的。有钗h理论讨论为什么是使用这个特别的符号。某些历史学家倾向于把它视为omicron (希腊字母第十五个字母)的这种说法，然而Neugebauer 却不认为这个看法，因为希腊人已经使用omicron 当做70 这个数字了(希腊的数字系统是建立在它们的字母上的)，他认为是因为希腊字表示"没有东西"的第一个字读做"ouden"。其它的解释认为它建立在"obol"，一种古希腊的银币(几乎没有价值的钱币)而当计算的人在计算沙板所产生的。这里的猜测是当计算的人在沙上移去东西后所留下的空的圆柱形的凹陷部份，而它看起来就像是O。
托勒密在公元一百三十年左右时使用巴比伦人的六十进制系统连同表示空白位置的符号O。这个期间托勒密在数字间及数字尾端使用这个符号。您可能认为至此将零视为空白位置的表示符号终于坚实的确立了。但是然而这与事实是相距甚远的。仅有少数一些例外的天文学家使用这种标示法而之后很长的一段时间都没有人再使用它了。托勒密当然是把它当作某种的标点符号，而这种想法接着出现在印度的数学里。
现在让场影移动到印度，在这里可以公正的认为今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。当然这并不是说，印度的数字并未从早期的成就而来，钗h的数学史家相信印度人对零的使用是从希腊天文学家那儿演进而来的。而且一些数学史家似乎用非理性的方式刻意眨低印度人在数学发展上的贡献，也有人论断印度人发明零的事实太过于夸张。例如：Mukherjee 论断:-
... 这个零的数学概念... 也在从17 000年前的印度精神里表现出来。
可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位值系统而将零当作空白位置的表示符号。事实上有证据显示在公元二百年的印度就有位置数字系统的空白位置表示符号的使用了，但是一些历史家将它们视为伪造而不去注意到它们。让我们稍后再对这件事做个细查，因为它延续了上述讨论的发展。
在大约公元五百年左右Aryabhata 设计了一种数字系统，这种系统是位值系统但是还没有使用到零。他使用"kha" 这个字来表示位置并且后来被使用来称作零的名字。有证据显示，在早期的印度人的手写稿里，他们曾经使用小圆点来表示位值系统中的空白位置。有趣的是在同样的文件中有时也使用小圆点来表示未知数，而这在今日我们通常使用x 来表示它。较晚的印度数学家对零已赋与其名，但仍旧没有表示它的符号。众所公认的印度人使用零的最早记录是在公元八百七十六年所写下的。
我们有一段记载在石头上的铭文，在它上面有一个转换成公元的八百七十六年的日期数字。这段铭文是关于Delhi 南方四百公里的一座城镇Gwalior ，在这个城镇里他们用种植了二百七十株戟状植物，可每日供应足够当地神壂所需的五十个花环的数量。而记载所提及的270 及50 都表示成几乎就是今日的样子，稍微不同的只是零比较小而用浮雕的方式。
where they planted a garden 187 by 270 hastas which would produce enough flowers to allow 50 garlands per day to be given to the local temple. Both of the numbers 270 and 50 are denoted almost as they appear today although the 0 is smaller and slightly raised.
现在我们来讨论零被初次当作数字的事情。首先我们注意到就任何的角度来说，零作为数字的候选人都是极不自然的。从早期数字被视为一类物体相关的字词，之后数字的概念愈来愈抽象，这个抽象过程让人们思考到负数及零的数字变得很有可能的。当人们试着将零及负数视为数字的同时会产生的问题是它们在算术的加减乘除的运算中与其它的整数间的互相作用为何？在三本极重要的著书中，印度的数学家Brahmagupta，Mahavira 和Bhaskara 试着回答这些问题。
Brahmagupta 试着给出在七世纪时牵涉到零及负数的算数运算法则。他解释道：给定一个数然后你将此数与自己相减，然后就会得到零。接着给出了牵涉到零的加法法则：─
负数与零的和仍是负数，正数与零的和是正数，零与零的和仍旧是零。
减法就有些困难：─零减掉负数结果是正数，零减去正数的结果是负数；负数减去零结果仍是负数，正数减去零的结果仍是正数，而零减去零之结果仍旧是仍零。
Brahmagupta 接着说任何数乘上零结果是零，但是对于除法来说就遇到困难了：─当被零分割时也就是当零作为分数的分母时其结果是正数或是负数，当零被负数或是正数所除时结果都是零；或者可以表示成以零当作分子而有限量当作分母的分数。零除以零其结果是零。
实际上，当 Brahmagupta 在猜测 n 除以零表示成 n/0 的时候是谈论的相当少的。很显然的是他在此处遭遇到了困难。当他在论断零除以零得到结果是零的时候，当然是错的。然而从第一个人试着扩充运算法则到零及负数的这件事情来说，这是个伟大的尝试。
在公元八百三十年左右，就在 Brahmagupta 写下他的名作后约二百年后， Mahavira 写下了 Ganita Sara Samgraha 这本书，这本书是被设来作为 Brahmagupta 的书的更新版本。他正确的描述道：─
...一个数乘上零结果是零，一个数减去零后结果仍旧是本身。
然而这本试着增进 Brahmagupta的书，在描述被零分割的事情上似乎导致了错误。他写道：─一个数被零分割的结果似乎还是它自己并未改变。
因为这很明显是不正确的，但是你有否注意到我所使用的措词"似乎导致了错误"可视为令人困惑的。用词的原因是某些对于 Mahavira 这本书的评论家已试着找出对这种错误的陈述的辩解。
Bhaskara 这本书写成于 Brahmagupta 书成后五百年。不管时间的推移，他仍然对于除以零这个问题努力的作出解释。他写道：─一量被零分割变成一个分母是零的分数。这个分数被叫做无限量。尽管钗h的次序规则被吸收或是提出，虽然钗h可能被插入或是扩充，这个数是由零来做为它的除数是没有改变的，如同当世界被创造或摧毁时无限及永恒不变的神没有任何的改变发生一般。
所以 Bhaskara 试着藉由 n/0 = 来解决这个问题。一开始我们可能会倾向于相信 Bhaskara 让这件事情变得正确了。但是当然是没有的。如果对这是对的话，也就是说 0 乘上 一定等于任意数 n，所以所有的数都相同了。即使 Bhaskara 对于零的其它性质做了正确的描述，例如 02 = 0，以及 0 = 0。但是印度的数学家就是无法鼓起勇气来说一个数无法被零来分割。
也意识到在这个时间点有一个另外的文明发展了另一套位值数字系统还有零。也就是生活在中美洲的马雅人文明。今日占领这个区域的国家有墨西哥南部、瓜地马拉、及巴里斯的北部。这是一个古老的文明大约兴盛于公元二百五十年至九百年间。我们知道大约公元六百六十五年左右他们使用一种以二十为基底的位置数字系统而且有一个代表零的符号。然而他们对于零的使用回溯到较此时期更远的时候，甚至在他们采用位值数系之前就已经开始使用了。这是一项卓越的成就可惜并未对其他民族产生影响。
印度数学辉煌的成果被转译到较远西方，诸如伊斯兰的及阿拉伯的数学。在早期 al‘Khwarizmi 写下了 Al’Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning (印度人计算的艺术)，在书中描述了以印度数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 及 0 所建立起的位值系统。这项工作是在现在的伊拉克进行的，是最早使用零来当作空白位置的标示符号。Ibn Ezra 在十二世纪时写了三篇论文来探讨数字，有助于将印度的数字元号及十进制的分数概念带给欧洲博学的人们了解。这本书 The Book of the Number 描述了对整数的十进制系统及从左到右的位值表示系统。在这项工作里 ibn Ezra 将零称做 galgal ，意思是车轮或是圆圈。十二世纪稍晚时期， al-Samawal 写道：─
如果用零来减去一正数其结果是同值的负数 ... 如果我们用零减去负数其结果是同值的正数。
印度人的概念向东延伸到了中国就如同向西到了伊斯兰等国家。在公元一千二百四十七年中国的数字家 Ch‘in Chiu-Shao 所写的数学专论在讨论九分里就使用了 O 这个符号来代表零。稍后，在公元一千三百零三年， Chu Shih-Chieh 所写的 Jade mirror of the four elements 专论里又再次使用这个符号来表示零。
Fibonacci 是将有关数字系统的新观念带进欧洲的主要人物。
在印度─阿拉伯数字系统与欧洲数学之间的很重要的联结由意大利的数学家 Fibonacci 所建立的。
在公元一千二百年左右， Liber Abaci 为欧洲人介绍了印度的这九个数字连同 0 这个符号，但是却有很长的时间未被广范的使用。有件意义深远的事就是 Fibonacci 他并不够勇敢的将 0 与其它数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 视为一般，因为他把零读做"符号"零，而却称其它的叫做"数字"。显见的是，虽然将印度数字介绍给欧洲人是他的最主要的贡献，但是他对零的见解并没有达到印度数学家 Brahmagupta, Mahavira 和 Bhaskara 及像是 al-Samawal 等阿拉伯或伊斯兰数学家们的复杂程度。
你可能会认为数系的进步是普遍的而零却是特殊的，从现在起将变的稳固。然而，情形却不是这样。Cardan 在没有使用到零的情形下解决了三次及四次的方程式。如果他那个时候就有零的概念的话，在公元一千五百年左右，他会较容易的发现这些问题的解答。但这不是他的数学成就的一部份。在一千六百年左右的时候，零已经广为人所使用了，但是却是经历钗h的反抗之后才有的成果。
当然仍旧有因为零产生的问题。最近全世界到处都在公元二千年一月一日的时候庆助新的千禧年到来。当然他们庆助的是已经过去的一千九百九十九年，因为当有日历的时候，它是没有零年的。尽管人们将原谅这个根本的错误，但是有点令人惊奇的是大部份的人们似乎不能了解为什么第三个千禧年及第二十一世纪是从公元二千零一年一月一日才开始的事实。零仍旧引起钗h问题！
整 数
在自然数集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。称N中的元素为正整数，称0为零，称1，-2，-3，…，-n，…。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。
零不仅表示"无"它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。
中国最早引入了负数。《九童算术·方程》中论述的"正负术"，就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a1，b1），（a2，b2），如果a1+b2= a2+b1，就说（a1，b1）～（a2，b2），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。
有 理 数
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
引 起 数 学 危 机 的 无 理 数
无理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如 等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。
第一个被发现的无理数，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是 。他想，X代表对角线长，而 ，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，2是1和4之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了 等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。
无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
第三篇数的由来:数的由来和发展
数的由来和发展1
同学们你们知道吗?在远古时期没有数字,人们只是用豆子或系绳法来做记录.那么数字是怎么来的呢?相传是古代印度人一位牧羊童发明的.
这位小牧羊童每天都要到山上去放羊,时间长了他就觉得很无聊.为了消磨时光,他就在地上画了一个图形,后来他就把这个图形拆开来玩.有一天,他看着眼前的这些符号,忽然灵机一动,心想:我可以用这些符号来表示羊的数量呀!这样无论羊的数量是增加了,还是减少了,都用符号来表示,这不比用系绳法方便吗?接下来的几天里,他试了试,发现果然很方便.后来他把这个方法告诉了其他人.大家都夸小牧羊童想的办法真好,于是这种方法很快就传开了.经过不断地演化,这些符号就变成了现在的数字”1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9﹑0”.
大自然里的秘密还有很多很多,不信你就仔细观察,那里有许许多多的知识,但是,粗心的小朋友是得不到它的.
阿拉伯数字的来历
通常,我们把1、2、3、4……9、0称为”阿拉伯数字”.其实,这些数字并不是阿拉伯人创造的,它们最早产生于古代的印度.可是人们为什么又把它们称为”阿拉伯数字”呢?据传早在公元7世纪时，阿拉伯人渐渐地征服了周围的其他民族，建立起一个东起印度，西到非洲北部及西班牙的萨拉森大帝国。到后来，这个大帝国又分裂成为东西两个国家。由于两个国家的历代君主都注重文化艺术，所以两国的都城非常繁荣昌盛，其中东都巴格达更胜一筹。这样，西来的希腊文化，东来的印度文化，都汇集于此。阿拉伯人将两种文化理解并消化，形成了新的阿拉伯文化。
大约在公元750年左右，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫，把他随身带来的印度制作的天文表献给了当时的国王。印度数字1、2、3、4……以及印度式的计算方法，也就在这个时候介绍给了阿拉伯人。因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快就被阿拉伯人所接受了，并且逐渐地传播到欧洲各个国家。在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。
到后来，人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但是大家早已习惯了“阿拉伯数字”这个叫法，所以也就沿用下来了。
中国人民币发展史
货币被称为一个国家的”名片.”它既是价值尺度、流通手段,又是反映民族文化和精神风貌的艺术品.它是一个国家综合实力的体现,是一国政治、经济、文化、科技等的综合反映。人民币是中华人民共和国的法定货币.
我国目前共发行了五套人民币.1948年12月1日中国人民银行成立时开始发行人民币,也是我国第一套人民币.第二套人民币是1955年3月1日发行.1962年4月15日国务院批准中国人民银行发行了第三套人民币.第四套人民币于1987年4月27日发行.中国人民银行于1999年10月1日在全国发行了第五套(1999年版)人民币.
吴文俊的故事
吴文俊教授是我国著名的数学家.他能记住成千上万条烦琐的公式、定理和数据,但却记不住自己的生日.
吴教授60寿辰那一天,他的几个好朋友登门拜寿.正在埋头工作的吴教授,对今天是什么日子却茫然不知.其实吴教授的记忆力非常惊人.为改变数学家”一枝笔、一张纸、一个脑袋”的传统工作方式,他在已近花甲之年主持研究了一项名为”机器证明”的课题.在这项研究中吴文俊对电子计算机安装的日期及计算机编成的300多道”指令”的程序都记得一清二楚,不差分毫.
一位对数字特别敏感的数学家竟记不住自己的生日,朋友感到不解.面对老朋友你惑的目光,吴文俊解释说:”我从来不记那些没有意义的数字.在我看来,生日早一天,晚一天,没什么两样.所以,我自己的生日,爱人的生日,孩子的生日,我一概不记得,就连我结婚的日子也忘了.”
罗马数字的由来
罗马数字是古代罗马人创造的。古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。罗马数字很形象。如Ⅰ代表一个手指，Ⅴ就代表一只伸开的手，当然就是五个手指了，而Ⅹ呢，则代表两只伸开的手。13世纪以前欧洲各国普遍使用罗马数字来计数。实际上，罗马数字的符号一共只有七个：Ⅰ（代表1）、Ⅴ（代表5）、Ⅹ（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如“Ⅲ”表示“3”；“ⅩⅩⅩ”表示“30”。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“Ⅵ”表示“6”。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“Ⅳ”表示“4”。
3． 加上横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数的一千倍。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了刑法，使他再也不能握笔写字。
十进制的来历和应用
人类最早用来计数的是手指、脚趾或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分1，2，3，4个手指，遇到5个的物体就伸出一只手，10个物体就伸出两只手。当数很多时就用小石子来计数，10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代表。
我国是世界上最早使用十进制记数的国家之一。商代甲骨文中已有十进制记数，十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。
现在通用的数码是印度——阿拉伯数码，用十进位制表示数。用0，1，2，3……9十个数码可表示任一数，低一位的数满十后进到一位上去。这种十进位制，现在看起来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。阿拉伯数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个，然而用这十个数字可以记出无限多的数。
每相邻的两个计数单位间的进率都是“十”的计数方法叫做十进制计数法。它遵循的原则是“逢十进一，退以当十”。
应用：10分=1角
10厘米=1分米，1丈=10尺
1斤=10两
“＞”“＜”和“＝”的来历
最常见的数学符号中有“＞”“＜”“＝”等，关于它们的来历是这样的：
等号“＝”在1540年首次被英国牛津大学的瑞柯德使用，后来经过法国数学家韦达和德国数学家莱布尼兹的使用，才为人们普遍接受。
大于号“＞”，小于号“＜”是英国数学家郝锐奥特的创造。
加号减号的来历
古希腊和印度人以前是把两个加数写在一起，表示加法，后来又有人用拉丁字母的P或P上加一横表示加。中世纪，据说，当时酒商在售出酒后，用线条“－”记录酒桶里的酒卖了多少。在把新酒灌入大桶时，就将线条“－”变为“﹢”，灌回多少酒就勾销多少条。商人在装货的箱子上画上一个“＋”表示超重，画一个“－”表示重量不足。久而久之，符号“＋”给人以相加的印象，“－”给人以相减的形象。达芬奇的画中也有“﹢”这个记号。
当时德国的数学家魏德曼巧妙地借用了当时商业中流行的“＋”和“－”号。1489年，在他的著作《简算和速算》一书中，把“＋”叫做加号，把“－”叫做减号。1514年，荷兰数学家赫克把它用作代数运算符号。后来在法国数学家韦达的大力宣传和提倡，“﹢”号，“－”才开始象现在这么普及。
直到1630年，才得到大家的公认。
时、分的由来
古人为了生活上的需要，把一天分为十二个时辰，就是子、丑、寅、卯等十二时。西方人把一天分为二十四个小时。一小时的六十分之一就是1分钟。
一切为了祖国
陈景润成了国际知名的大数学家，深受人们的敬重。但他并没有产生骄傲自满情绪，而是把功劳都归于祖国和人民。为了维护祖国的利益，他不惜牺牲个人的名利。 1977年的一天，陈景润收到一封国外来信，是国际数学家联合会主席写给他的，邀请他出席国际数学家大会。这次大会有3000人参加，参加的都是世界上著名的数学家。大会共指定了10位数学家作学术报告，陈景润就是其中之一。这对一位数学家而言，是极大的荣誉，对提高陈景润在国际上的知名度大有好处。 陈景润没有擅作主张，而是立即向研究所党支部作了汇报，请求党的指示。党支部把这一情况又上报到科学院。科学院的党组织对这个问题比较慎重，因为当时中国在国际数学家联合会的席位，一直被台湾占据着。 院领导回答道：“你是数学家，党组织尊重你个人的意见，你可以自己给他回信。”陈景润经过慎重考虑，最后决定放弃这次难得的机会。他在答复国际数学家联合会主席的信中写到：“第一，我们国家历来是重视跟世界各国发展学术交流与友好关系的，我个人非常感谢国际数学家联合会主席的邀请。第二，世界上只有一个中国，唯一能代表中国广大人民利益的是中华人民共和国，台湾是中华人民共和国不可分割的一部分。因为目前台湾占据着国际数学家联合会我国的席位，所以我不能出席。第三，如果中国只有一个代表的话，我是可以考虑参加这次会议的。”为了维护祖国母亲的尊严，陈景润牺牲了个人的利益。 1979年，陈景润应美国普林斯顿高级研究所的邀请，去美国作短期的研究访问工作。普林斯顿研究所的条件非常好，陈景润为了充分利用这样好的条件，挤出一切可以节省的时间，拼命工作，连中午饭也不回住处去吃。有时候外出参加会议，旅馆里比较嘈杂，他便躲进卫生间里，继续进行研究工作。正因为他的刻苦努力，在美国短短的五个月里，除了开会、讲学之外，他完成了论文《算术级数中的最小素数》，一下子把最小素数从原来的80推进到16。这一研究成果，也是当时世界上最先进的。 在美国这样物质比较发达的国度，陈景润依旧保持着在国内时的节俭作风。他每个月从研究所可获得2000美金的报酬，可以说是比较丰厚的了。每天中午，他从不去研究所的餐厅就餐，那里比较讲究，他完全可以享受一下的，但他都是吃自己带去的干粮和水果。他是如此的节俭，以至于在美国生活五个月，除去房租、水电花去1800美元外，伙食费等仅花了700美元。等他回时， 共节余了7500美元。 这笔钱在当时不是个小数目，他完全可以像其他人一样，从国外买回些高档家电。但他把这笔钱全部上交给国家。他是怎么想的呢? 用他自己的话说：“我们的国家还不富裕，我不能只想着自己享乐。” 陈景润就是这样一个非常谦虚、正直的人，尽管他已功成名就，然而他没有骄傲自满，他说：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正的高峰还没有有攀上去，还要继续努力。”
陈景润的故事
中国数学家、中国科学院院士。福建闽候人。 陈景润出生在一个小职员的家庭，上有哥姐、下有弟妹，排行第三。因为家里孩子多，父亲收入微薄，家庭生活非常拮据。因此，陈景润一出生便似乎成为父母的累赘，一个自认为是不爱欢迎的人。上学后，由于瘦小体弱，常受人欺负。这种特殊的生活境况，把他塑造成了一个极为内向、不善言谈的人，加上对数学的痴恋，更使他养成了独来独往、独自闭门思考的习惯，因此竟被别人认为是一个 “怪人”。陈景润毕生后选择研究数学这条异常艰辛的人生道路，与沈元教授有关。在他那里，陈景润第一次知道了哥德巴赫猜想，也就是从那里，陈景润第一刻起，他就立志去摘取那颗数学皇冠上的明珠。1953年，他毕业于厦门大学，留校在图书馆工作，但始终没有忘记哥德巴赫猜想，他把数学论文寄给华罗庚教授，华罗庚阅后非常赏识他的才华，把他调到中国科学院数学研究所当实习研究员，从此便有幸在华罗庚的指导下，向哥德巴赫猜想进军。1966年5月，一颗耀眼的新星闪烁于全球数学界的上空------陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的"1+2"；1972年2月，他完成了对"1+2"证明的修改。令人难以置信的是，外国数学家在证明"1+3"时用了大型高速计算机，而陈景润却完全靠纸、笔和头颅。如果这令人费解的话，那么他单为简化"1+2"这一证明就用去的6麻袋稿纸，则足以说明问题了。1973年，他发表的著名的"陈氏定理"，被誉为筛法的光辉顶点。 对于陈景润的成就，一位著名的外国数学家曾敬佩和感慨地誉：他移动了群山！
华罗庚的故事
中国数学家、数学教育家，中国科学院院士，江苏金坛人。 华罗庚的父亲是经营杂货店的小业主，由于经营惨淡，家境每况愈下，致使上中学不久的华罗庚辍学，当了杂货店的记账员。在繁琐、单调的劳作中，他并没有放弃最大的嗜好－－－数学研究。正在他发奋自学时，灾难从天而降－－－他染上了可怕的伤寒症，被医生判了“死刑”。然而，他竟然奇迹般地活了过来，但左腿却落下了终生残疾。他常挂在嘴边的是这样一句话：“所谓天才，就是靠坚持不断的努力。”这位没有大学文凭的数学家，凭着坚持不懈的努力，刻苦自学，于1930年，以《苏家驹之代数五次方程式不能成立的理由》的论文，而使中国数学界刮目相看。后被熊庆来教授推荐到清华大学数学系任助教 。在这里，他得益于熊庆来、杨武之的指导，学术上得以长足进步，并逐渐树立起他在世界数学界的地位。1948年应美国一所大学骋请任教。新中国成立后，他毅然放弃优越的工作和生活条件，携妻儿回国，担任清华大学数学系教授，后任中国科学院数学研究所所长。他十分重视和倡导把数学理论应用到生产实践中，并亲自组织和推广“优选法”、“统筹法”，使之在社会主义现代化建设中显示出了巨大的威力。他一生勤奋耕耘，共发表200余篇学术论文、10部专著。作为数学教育家，他培养出陈景润、王元、陆启铿等一批优秀的数学家，并形成了中国数学学派，有的人已成为世界级的数学家。 1985年6月12日，华罗庚在日本讲学时，因突发心肌梗塞而去世，终年75岁。一生以“最大希望就是工作到生命的最后一刻”自勉的华罗庚，将永远活在人民的心中。
“爱因斯坦”——陈景润
厦门，美称鹭岛。闻名遐迩的海上花园。位于大海之滨的厦门大学，背靠风光奇秀的五老峰。红墙，廊柱，琉璃瓦，依山傍海的校园建筑，像富丽而清纯的钢琴协奏曲，婉转悠扬，洋洋洒洒，尽情地抒发着南国的浪漫和妩媚。细细看去，不得不叹服校主陈嘉庚先生当年非凡的审美目光，中式的大屋顶，写意的飞檐吊角和西式的瓶形栏杆，和谐地构成它的庄重和飘逸，历经风霜大半个世纪，依然如风姿绰约的丽人，洋溢着迷人的异彩。 陈景润是幸运的。1949年秋，福州解放，他尚是16岁的高二学生。满目红旗如火，他所在的班级，被命名为“朝阳班”。新中国如灿烂的红日，从地平线上冉冉升起，那斑斓的万道金光同样把他的心照亮了。他对未来充满了期望。1950年春夏之交，他高中尚未毕业，毅然以“同等学力”的资格，报考素有“南方之强”美称的厦门大学。他被录取了。 当时去念厦大，是颇有点胆量的。因为，抬头便可望见仅一水之隔的国民党控制的金门诸岛。炮声不断。红旗插上了厦门岛，但空中却未完全解放，我空军部队尚未入闽，国民党反动派倚仗他们的几架飞机，常来骚扰。因此陈景润的家里人出于安全和爱护，曾劝陈景润就近在福州念大学，而一心向往厦大的陈景润，却毫不动摇，当家里人委婉地以经济原因挽留他留福州就读时，他倔强地回答：“就是走路，我也要走到厦大去！”莫非，这一片钟灵毓秀之地早已辉映在这位未来大数学家的心中么？ 第一次出现在厦大校园中的陈景润，毫不引人注目，他穿着一身黑色的学生装，头戴黑色的学生帽，脚上是当时被称为万里鞋的一种最普通的胶底鞋子，提着一个已经很破旧的小藤箱，一个小小的被盖卷，外加一件他哥哥送给他的旧大衣。他哥哥是解放前厦大法律系的毕业生，深知秋冬海风的凛冽，特地把自己的大衣给陈景润御寒。对生活一贯毫不在意的陈景润，全部思绪很快就被厦大优裕的学习环境紧紧地吸引住了。 当时，陈景润念的是数理系，入学时只有3个学生，后来，上一届留下的1个同学编了进来，4个学生一个班，老师几乎是手把手教他们的。学生宿舍在博学楼，也就是当今的厦门大学人类博物馆。走进由著名画家徐悲鸿先生亲自题写门匾的这座花岗石建筑，仍然可以寻觅到陈景润当年住的宿舍：123号房间。当时，6个学生住一间。陈景润睡的是下铺。神往和钟情数学的陈景润，正如高尔基所描绘的：像一个饥饿的人扑在面包上一样。他很快就陷入了痴迷的状态。 早在中学，他就开始涉猎大学课程，如今进了大学，他怎肯轻易罢休。时间，被他分解成一个个已是无法切开的小单元，而他把这一切全用于如饥似渴的学习中了。说来让人难以置信，身居厦大，抬头便可以透过海光岚影看到楚楚动人的世界级风景区鼓浪屿，而陈景润却一次也没有去过。近在咫尺的南国名寺南普陀，一派金碧辉煌，晨钟暮鼓，他也极少涉足，更莫提花花绿绿的厦门市区了。他的生活节俭到令人难以想象的程度，每月只用3—4元钱的伙食费，同学们常看到他只用馒头就咸菜充饥。厦门海鲜多，当时价格也相当便宜，他为了节省，很少挑选这些较好的菜肴。其时，建南大礼堂未建设，学校的东膳厅，每逢周末放电影，门票只须5分钱，三年大学生活，陈景润一次电影也没看过。为了节省衣服，他洗衣服也舍不得用力去搓，往往只是在水里泡一泡，抖一抖就提起来，晒干，再穿在身上。耐得住清贫，是一种可贵的品格，正如方志敏烈士在《清贫》一文中所写的那样：“清贫，正是革命者战胜许多困难的地方。”解放初期，陈景润的家境，因为父亲没有工作，而显得有些窘迫，但陈景润的节俭并非完全是经济原因。80年代他成名之后，经济条件很不错了，他依然如此，一架小型的收录机，学英语用，也是向数学所借的。到美国、英国讲学，对方付了一笔颇丰的讲学金，他也只用很少一部分，大部分积累起来献给了国家。他不愿意把过多时间和精力放在生活上，觉得愈简单愈好。至今，陈景润的姐姐仍保留着陈景润念大学时用的那个破旧的小藤箱。箱内，一双穿透了的万里鞋和几件破旧的衣服，默默地向世人昭示着这一段耐人回味的岁月。 陈景润把所有的精力都用在学习上了。他读书有一套自己暗中制订的“高标准”，每天，他除了完成老师布置的作业外，自己还要根据学习的课程完成一批作业题，少则几十道，多则上百道。每到傍晚，夕阳映红大海时分，逢到潮汛，海滨上一片欢声笑语，人们前去游泳，尽情领略大自然美好的馈赠。而陈景润却是穿着那双露出脚指的万里鞋，前到老师的住处送作业，请老师予以修改、指教。婆娑的木麻黄已经成林，柔情依依的相思树，更是消融了无数流逝的岁月，一代数学奇才陈景润，却是捏着时间的秒表，为人们留下了永恒的记忆。 攀登科学的高峰是不容易的，那是一步一步踏踏实实的跋涉，是以青春热血甚至宝贵的生命为代价的悲壮的拼搏。陈景润的身体瘦弱，脸色苍白，带着明显的病容，他害怕看病耽搁时间，结果生了病也不去看。实在坚持不住了，就躺在床上，一边看书，一边算是静养。 他准备了一个手电筒，那是夜晚读书用的，当时厦大虽然没有熄灯制度，但他也担心影响别人休息，到了深夜，就在被窝中拧亮手电读书。这种特殊的读书方式和习惯，一直延续到他在北京中关村工作时期。“文革”大劫，陈景润被揪到“牛棚”中，备受凌辱折磨。有一回，到处找不到陈景润，人们以为他逃跑了，四处搜寻，皆不见踪影。后来，才发现他就在“牛棚”中的一卷被窝里，瘦小的他躺在被窝中拧着手电看书。一烛亮光如豆，居然照耀着他大半生跋涉征途。清冷也罢，寂寞也罢，只有他独自能够真正地品出其中的甘苦和绵长了。 他学习真正到忘我的程度，有一回，从食堂回来，厦门的天气多变，一阵海风，忽然吹来了一片雨幕，同学们见状都飞跑起来，只有他独自漫步着，在雨帘中依然是那么地沉稳自在。他的同班同学杨锡安惊奇地问：“你不淋雨么？”他才恍然大悟，说道，他根本没有感觉到下雨，他的心绪全部沉缅到一片书海中去了。一个人痴迷到如此，便必然引起众人的注目，像中学生起绰号一样，他的同学同样毫不客气地称他是“爱因斯坦”。当然，此时的陈景润和以提出相对论改写了一个时代科学史的爱因斯坦难以相提并论，但他那种近似拗相公的执着，那种嗜书如命的忘我精神，却是一脉相承的，每一个成功的科学家，几乎都要经过这段“炼狱”式的旅程。 陈景润的同乡、校友、知交，中国科学院数学所的林群院士，对于陈景润的成功有一段异常精辟的见解：“科学好比登山，有的人登上一座山，浏览峰顶的风光，就满足而归了。而陈景润却不一样，他同样登山，倘若上山有十条小径，他每一条小径都要去爬一次。他重视的不全是结果，而是贵在过程。直到把上山的所有的路全摸透了，他才会感到满足。功底、基础就是这样一步一个脚印建立起来的。”大学生时代的陈景润，日日解题不息，并且乐在其中，原因便在于此。 他依然保持着中学时那种沉默并近似孤僻的性格，独自在数学的王国中遨游。有一段时间，被检查出患了肺结核，不得不去住院，身体稍有好转，就回来继续念书。有时，居然连洗脸、刷牙也忘了。解放初期，大学中开展知识分子思想改造运动，主要在教师中进行，偶尔也会“烧”到学生头上，陈景润对政治运动是门外汉，这一回却被“烧”着了，他同样到大会上去做“检查”，非常虔诚地检讨自己，并且向大家保证：今后一定讲卫生，天天洗脸刷牙。没有人笑他。这位厦大颇有点名气的“爱因斯坦”能够做到这一点，就很不错了。
勤业斋106室
“王校长！王校长——”轻声清晰的呼唤，忽地牵住了王亚南校长的脚步。正在福州市大街上行走的这位第一个把马克思的《资本论》译成中文，声名远播的我国著名经济学专家，怎么也不会相信眼前严峻的事实：陈景润正在大街上摆香烟摊和出租小人书摊。 这真是极富戏剧色彩的巧遇：当年厦大出名的“爱因斯坦”，怎会沦落到如此狼狈的地步呢？1954年，我国已经结束了国民经济恢复时期，开始实施第一个五年计划，到处在呼唤人才，而陈景润却失业了，生活无着，在福州摆小摊度日。 他的境遇，使王亚南受到强烈的震撼。 人生的道路并非全是明媚的春光。鲜花、太阳，并不会廉价地钟情于每一个幸运者。1953年，国家急需人才，陈景润他们这一届的学生根据安排，全部提前一年毕业，奔赴百业待兴的各条战线。全班四个同学，三位留在厦门大学工作，陈景润被分配到北京四中任教。当时，能到首都工作，是一种荣耀。然而，习惯于在数学王国中踽踽而行的陈景润，学业精深，且不乏聪明才智，但一站到如鸽子般天真纯洁且吱吱喳喳的中学生面前，便全慌了。他天性不善言辞，木讷有余，毫不活泼。他苦心钻研的数学，如著名作家徐迟所形容的，是天山雪莲，绝世牡丹，而现实却需要他去给中学生讲最简单的一元一次方程。人生严重错位，他不知所措，又不善周旋，更不会如现代人那样去找人通融一下关节，调换一个岗位。于是，陈景润被学校辞退了。一个人灰溜溜地回故乡福州。没有了工资，生存受到了威胁，出于无奈，只好像解放初期那些城里无业的游民那样，靠摆小摊过日子了。 了解到全部情况的王亚南校长心疼了。说实话，他并非在当时就看到陈景润日后的辉煌，而只是出自于对自己学生的爱护。他热爱学生是有口皆碑的，曾把翻译《资本论》的稿费全部用于给厦门大学学生支付讲义费，给贫困学生买鞋穿，可以说，有千千万万的厦大学生享受过他高尚真挚的慈爱和恩泽。世事不公。“文革”大劫，奉周恩来总理之命回厦大担任革委会主任的王亚南校长，突遭暗算，一夜之间，被打成“走资派”、“黑帮”、“反动学术权威”，惨遭迫害、批斗，终于诱发了绝症，死在上海。对于他的去世，周总理悲愤地给厦大当时处于两派内战的师生发来电报：两派师生应联合起来开追悼会，向王亚南校长的遗像默哀、告别。此时，人们才感到痛失这位德高望重老校长的不幸和哀伤，为时委实太晚了。 王亚南校长把陈景润带回厦大。他是真正懂得人才价值的。他和数学系的领导商量，让陈景润在系资料室工作，这里书香温馨，很适合陈景润的个性和特长。陈景润获救了。 这次失业的遭遇，给陈景润心灵留下浓重的阴影。人的第一个基本要素是求生存，当经济来源断绝，三餐吃饭都成为问题的时候，要去搞科研攀登科学高峰同样是不可能的。从此，陈景润更节俭了，尽管身在书斋，他总是担心会再次失业，会再次去摆香烟摊和出租小人书摊，去品味那社会最底层人们生活的苦涩和晦暗。这种特殊的“忧患”意识，几乎陪伴了陈景润的一生。他把节俭下来的钱存下来，通晓数学的他，担心钱会贬值，就把它换成了金戒指等硬通货。他时时防备着，一旦不幸失业，他仍然可以去研究他的数学。 重回厦大的陈景润，经过这次意外的人生变故，显得更为沉默和孤独了。他百倍珍惜得来不易的机遇，恨不得把所有的时间都花在他所钟爱的数学研究之中。他分得了一个小房间，勤业斋106室。勤业斋是有点像北京四合院式的旧式建筑，门前，竹影婆娑，推开，是一个宽敞的小院，四周便是房间，只有一层。如今早已拆了，成了一座六层的简易宿舍楼，仍是四面环合，楼名也仍称“勤业”；或许，是出于设计上的疏漏，一眼看去，很像是西方电影中的集中营，于是，被爱戏谑的年轻人起了一个不雅的外号：“集中营”。尽管，朱颜已改，面目全非，但遗落在这里的故事，仍然是美丽动人的。 陈景润的全部生命，几乎都消融在夜以继日的读书之中。他担心夜晚开灯读书太迟，会影响别人的休息，于是，做了一个巨大的黑色的大灯罩，罩着灯，也罩住了在灯下苦读的陈景润。当时，厦大处于前线，学校彻夜有武装民兵巡逻，警惕性极高的民兵发现这一异常的情况，曾持枪前去看个究竟，待终于了解其中缘由之后，才放心地离开了。对于读书的方法，陈景润在后来成名之后，在一篇文章中有一段十分精彩的自白： 我读书不只满足于读懂，而是要把读懂的东西背得滚瓜烂熟，熟能生巧嘛！我国著名的文学家鲁迅先生把他搞文学创作的经验总结成四句话： “静观默察，烂熟于心，凝思结想，然后一挥而就。”当时我走的就是这样一条路子，真是所见略同！当时我能把数、理、化的许多概念、公式、定理，一一装在自己的脑海里，随时拈来应用。 不得不佩服陈景润脚踏实地而又不乏机智的做学问本事，居然能把鲁迅先生从事文学创作的神思之功，融入数学王国的艰辛跋涉之旅。他在资料室工作期间，读过多少书，很难计算，也无法计算。知识的积累，需要有一个循序渐进的过程，科学高峰的攀登，更需要打下坚实而深厚的功底。神游知识的海洋，阅尽浪花、鸥鸟、飞帆、礁石，才能有幸真正领略大海的浩瀚和神秘。冰冻三尺，非一日之寒，陈景润在这一段时间的刻苦修炼，是奋飞前夕关键性的一搏。 要把书读到滚瓜烂熟，是需要付出沉重的劳动的，尤其是数学方面的书，没有情节、故事，没有押韵以及情感氛围，抽象的数学符号，编织着深奥、玄妙的特殊世界。只有痴迷其中的陈景润，才能听到鸣泉如诉如泣，才能看到月华如水，才能看到兀立的群峰闪烁着幽远、深邃的异彩。 不少数学著作又大又厚，携带十分不便，陈景润就把它一页页拆开来，随时带在身上，走到哪里读到哪里。这位可爱的“书痴”奇怪的读书方法，曾引起了一场小小的误会：数学系的老师时常看到陈景润拿着一页页散开的书在苦读，以为他把资料室的书拆掉了。后来，经过查实，陈景润拆的书全是自己的，对于公家的书，他惜之如金，从不去拆。公私分明，数学家的逻辑同样毫不含糊。 马克思有过一段脍炙人口的格言：“在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。”陈景润正是如此。 已经不是当穷学生的时候了，参加了工作的陈景润有了固定的工资收入，并且有了一个小巢。大海近在咫尺，春夏之交，火红的凤凰花开遍了厦大校园，游泳、跳舞、恋爱，多少人流连于大海之滨，花前月下，享受着令人羡慕的大学教师生活的丰富多彩，或者，尽情领略大自然的流光溢彩。而这一切，似乎都和陈景润无缘，他除了日常上班以外，就躲进图书馆或自己的那间小屋里，研究、学习他的数学。没有什么人特别注意他，也没有什么人更深地了解他。只有他，默默地，守着寂寞，守着自己那一片境界不凡的圣地。 历史，请你见证：勤业斋106室。
初试锋芒
他终于开始飞翔了。陈景润恰似一个久经修炼的俊杰，携剑下山，一出手，便令人眼花缭乱，惊座四周。 1956年，伟大领袖毛泽东同志审时度势，酝酿构建了宏伟的社会主义建设纲领《论十大关系》。高瞻远瞩的一代伟人，观四海于一瞬，集智慧于一身，在探索适合中国国情的艰难道路上初获战绩之后，向全国知识界科技界提出了一个响亮的口号：向科学进军！周恩来总理亲自主持制定了国家科学发展的远景规划。 天开云绽，中国的蓝天，一片明媚阳光。如火如荼，来自中南海浩荡的春风，在厦门大学激起层层波涛。学校党委闻风而动，根据国家科学发展的远景规划，组织数学系制定自己的科研工作规划。他们雄心不小：提出在12年内赶上或达到国际先进水平。这并非是吹牛皮放大炮，其时，这里藏龙卧虎，众贤毕集。特别引起人们注意的便是陈景润，根据他的科研方向，系里除了让他在资料室工作外，特地安排他担任“复变函数论”的助教，希望他借此可以得到锻炼，打好坚实的基础。 此时，陈景润才23岁。别看他几乎日夜是在闭门读书，而那一颗单纯的心，却并不乏年轻人的豪情壮志。他选择数论作为突破口，在老师们的指点下，集中力量，钻研华罗庚的名著《堆垒素数论》、《数论导引》，向科学的高峰发起沉雄有力的进攻。 这是一种特殊的攻坚途径，《堆垒素数论》是华罗庚大约于1940年，用8个月时间完成的。这本专著，全面论述了三角和估计及其在华林—哥德巴赫问题上的应用。全书12章，除西革尔关于算术数列素数定理未给证明外，所有定理的证明均包含在内。在这本丰碑式巨著中，展示了华罗庚在圆法、三角和估计及其应用上做出的重大贡献，还对世界级的数学大师、苏联的维诺格拉多夫的方法作了改进和简化。据报载，华罗庚在西南联大曾讲授过他的《堆垒素数论》，开始，慕名而来的学生将教室挤得水泄不通，后来一天天减少，减到4个，一星期后，只剩下2个，即后来成为著名数学家的闵嗣鹤和钟开来。教室里只剩下师徒三人，因昆明天天空袭不绝，华罗庚干脆把教室搬到华家附近，租屋而居，进行讲授。华氏的这本书实在是太深了。1941年，华罗庚曾把手稿寄给苏联的维诺格拉多夫，维诺格拉多夫立即以电报回复：“我们收到了你的优秀专著，待战争结束后，立即付印。”因此，这本书最早是1947年以苏联科学院“斯捷克洛夫数学研究所”第22号专著出版的。中国数学界对华罗庚的专著给予崇高的评价。而当时的教育部几乎无人能够评审此书。老一辈数学家何鲁冒着灼人的炎热，曾在重庆的一幢小楼上挥汗审勘，阅稿时不时击案叫绝，一再对人说：“此天才也！”他爱不释手，居然亲笔将《堆垒素数论》抄了一遍，何氏的手抄本曾存于中国科学院数学研究所图书馆中，不幸在“文革”劫难中散失。 陈景润悉心攻读华罗庚的《堆垒素数论》，其目的，是想将华罗庚的成果向前推进一步。初出茅庐，便向世界级的数学大师华罗庚挑战，木讷寡言看上去有点病恹恹的陈景润，何其大胆，何其气魄！ 当然这不是儿戏，陈景润也曾犹豫过：“这不是有点太不自量力了么？”他的思维是缜密的。知识可以塑造性格，一直遨游在抽象思维王国里的陈景润不乏持重和沉着。他去请教“复变函数”的主讲老师，老师远见卓识，热情鼓励他：“为什么不可推进前人的成果呢？不必顾虑重重了。现在的数学名著，它们的作者当然都是著名的，这些著作是他们的研究成果，但后来的年轻人如果不敢再进一步研究，写出论文来，数学又怎能向前发展呢？”老师的话语重心长，言简意赅，陈景润心里踏实了。 像一块砖那么厚的华罗庚的数学名著《堆垒素数论》，被陈景润一页页拆开了。他一个字一个字地研究，整整读了30多遍，几乎达到了滚瓜烂熟的地步。华氏的这本专著，是当代数论精萃汇聚的结晶。对于其中的每一个公式、定理，陈景润都进行反复的计算、核实。住在勤业斋的人们，只看到陈景润的门一天到晚都关着，偶尔，看到他出来买饭，人影一闪，又进了那间只有七平方米的小屋。庭院里，竹影和翠森森的芭蕉树相映成趣，光洁的石凳上，人们悠闲地谈天、消闲，领略海滨之夏的无限美意。而有谁能知道，闷在小屋中的陈景润正在进行着一场艰苦的鏖战呢！ 生活被陈景润简化得只剩下二个字：数论。他日夜兼程地驰骋于数论的天地里。睡眠很少。陈景润有一套独特的作息理论，在他的头脑里，没有失眠二字，他多次对人说过：失眠，就意味着不需要睡觉，那就爬起来工作吧！他困了，和衣一躺，一醒来，又继续工作。人们出于关心或好奇，有时也到陈景润的小屋中去看看，遍地都是草稿纸。数论的许多领域，是靠极为抽象的推理演算的，演算了多少道题，连他自己也没法计算了。飞驰的岁月，完全消融在单调、枯燥而又神妙无穷的一次次推理和演算之中。只有陈景润，才能领略其中的苦涩和乐趣。 一山让过一山拦。偌大的数论世界，似乎化作气象万千的昆仑、天山。草地如茵，雪杉如画，意尽之时，还有潺潺流水，流不尽地老天荒，更流不尽那令无数英雄竞折腰的雪山奇景。小径如梦，断落在奇绝的冰山大川之中。寒意沁人，五内皆凉了。万丈的悬崖，披挂着壁立的冰雪交融的垂帘，如突然凝固的瀑布，写尽了天下的雄奇和壮阔。雪莲盛开在冰峰如刀的寒光凛冽之中，恰似神话中的珍奇瑰宝。它属于尚未进入科学殿堂的无名之辈么？ 没有退缩，更不后悔，认准了一条路，便头也不回地往前奔。诱惑也罢，失败也罢，沮丧也罢，全不理会，也无暇去理会了。攻关，就需要这种近似傻子的执着和顽强精神。 当时，厦门并不平静。盘踞在金门岛的国民党残兵败将，不甘心自己在大陆的失败，时常无端地向厦门打炮，敌机常来骚扰。当凄厉警报声响起，陈景润往往仍在数学王国中神游，一直到全副武装的民兵，焦急地推开他的窗户，命令他立即撤离到屋后五老峰下的防空洞时，他才恋恋不舍地离开小屋。临走时，还不忘捎上几页书。防空洞中，人声嘈杂，他却可以顷刻沉缅在数论的蓝天里。清人王国维在《人间词话》中有一段精彩的描绘：“古今成大事业、大学问者，必经过三种之境界：‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路！’此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。’此第二境也；‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。’此第三境也。”用王国维形象的勾画来看陈景润，实在是太确切了。 阅尽沧海，陈景润以滴水穿石的精神和超凡的韧劲，终于把华罗庚这本极难啃的《堆垒素数论》吃透了。仿佛是灵感突兀而至，壁立千仞的群峰突然天门开启，华光四射。该书的第四章 ，某些三角和的中值定理是用华罗庚方法来处理低次多项式对应的三角和的中值公式。第五章 维诺格拉多夫的中值定理及其推论是用维诺格拉多夫方法来处理高次多项式对应的三角和的中值公式。熟读全书和神游了数论的浩瀚、渊博之后的陈景润发现，用第五章 的方法可以用来改进第四章 的某些结果。这便是当时数论中的中心问题之一“他利问题”。它跟哥德巴赫问题一样，吸引着数论学者的注意和探讨。华罗庚除了在《堆垒素数论》一书进行探讨之外，还曾在1952年6月份出版的《数学学报》上发表过《等幂和问题解数的研究》一文，专门讨论“他利问题”。这个问题归结为对指数函数积分的估计。文章中，华罗庚满怀期望地写道：“但至善的指数尚未获得，而成为待进一步研讨的问题。”如今，这个问题终于被陈景润攻克了。 这是了不起的战绩。首战告捷，初试锋芒，便震惊了数学界。陈景润将他几乎耗尽心血的成果，写成了一篇关于“他利问题”的论文。对于这篇论文的水平和价值，中国科学院数学研究所的行家们，至今的评价是：一个数学家一生中能有一个这样的发现，便算幸运了。它是属于教授级的。陈景润把自己这篇论文，激动地交给曾教过他的李文清等老师看，大家仔细审阅，十分满意。李文清老师把这篇论文辗转寄给了华罗庚。华罗庚认真审阅后，交给了数学所数论组的一批年轻人，经过大家反复核审，证明陈景润的想法和结果是正确的。华罗庚感慨万千地对他的弟子说：“你们呆在我的身边，倒让一个跟我素不相识的青年改进了我的工作。” 命运，向陈景润敞开了一扇洋溢着更有诱惑力的大门。
数的由来和发展2
你是否看过杂技团演出中"小狗做算术"这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如"2+5"，由演员写到黑板上。小狗看到后就会"汪汪汪……"叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的"数学尖子"表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即 。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理 ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"ｉ "表示"-1"的平方根，即ｉ＝，虚数就这样诞生了。"ｉ "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 ａ＋ｂｉ的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
数 系
数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成。
自 然 数
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。
集合的基数具有元素"个数"的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里"集合"、"含有"、"自然数"、"后粥"等是不加定义的。 ① 是自然数。 ② 不是任何其它自然数的后继。 ③ 每个自然数都有一个后继（a的后记为） ④ a/=b/蕴含a=b ⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a / 蕴含S含有 ，则S含有任何自然数。
公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…，n …}，简记为N。
从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
零的历史
对于零，首见要讨论的是，有两种相当重要的使用方式，而这两种使用的场合有一些不同。其中一个是在我们的位置符号系统中，零被当作空白位置的表示符号。因此，像是数字2106 中0 就被用来让2 与1 表示在正确的位置上。显然的216 的义意就与2106 相当的不同。在零的使用在概念上、符号表示上及名称上，就有钗h的不同。
这些不同的使用，就历史的角度都不是容易说的明白的。它就是没有某个人发明这个想法，继之钗h人开始使用它的历史。就客观的说法，零的使用一点也不是直觉的概念。数学的问题开始于真实的问题与抽象的问题。在早先历史里的数字被想成较为具体的事物与之今日的抽象概念数字是大不相同的。从五匹马到"五个事物"然后再到抽象的概念"五"是个很大的跳跃。如果古时人们解决有关农夫需要多少马匹的问题时，问题就不会是以0 或-23 来当作答案。
你可能认为对一个位置的数字系统来说会产生0 来作为空白位置的指示符号是必要的想法，as a empty place indicator is a necessary idea, 可是巴比伦人虽然有位置表示的数字系统，但是确超过一千年的时间没有这个表示空白位置的符号产生。加之完全没有任何的证据指出巴比伦人感觉到它们所使用的数字系统有令人模棱两可的严重问题。令人注意的是巴比伦数学的时期所保存下来的原始的文章里，符号是被压印进未烘干的泥板上，使用尖笔在软的泥板上书写，所以会留下楔形的形状的边，所以现在我们都把巴比伦的文字叫做楔形文字。钗h大约公元前一千七百年前附近的泥板被保存下来，并且清楚到可以让我们来辨别原始的文字。当然他们对数字的表达方式与现今是大不相同的，他们使用六十进制的而不是我们习惯的十进制。如果将它们的数字转换成我们的符号表示法，是无法辨认2106 与216 这两个数字间的不同的（巴比伦文章的前后关系可以指出它是什么数字）。这个问题直到公元前四百年前左右时巴比伦人才放进二个楔形的符号，就像我们将放进零来指示到底是216 或是21"6 。
这个两个楔形并不是唯一被使用的符号，在古美索不达米亚的巴比伦城东边的一座名为Kish（现今伊拉克的中南部）所发现的泥板上，就使用了不一样的符号。这个泥板被认定的时间大概在公元前七百年前，使用三个扣钩的符号来表示位置符号数字系统中的空白位置。其它的同时期的泥板使用一个扣钩的符号来表示空白的位置。有一个共同的特色是使用不同的记号来表示一个空白的位置。需指出一个事实是，它没有出现在数字位结尾处，但是却总是在两个位数字之间。所以尽管我们曾经发现21 ‘’6 ，但是却从没有看到216 ‘’ 的情形。你可能假想古时候的感觉那就是文章本身是充分指出所讨论的数是什么数字。
如果指出这种参照文章脉络的的前后关系是愚蠢的话，那么注意到我们今日仍用类似的方法来表达数字。如果我搭乘巴士到附近的城镇，当我询问车票的价格时，人车说是" "It‘s three fifty" 那么意思是三磅加五十便士。然而如果换作搭飞机从爱丁堡到纽约的机票价格，相同的答案，我们却知道是三百五十磅。
从这里我们了解早期零的使用是用来表示空白的位置而不是当作一个数字的零来使用，仅仅是当作某种标点符号标记使得数字能有正确的解释。
到现在，将零视为空白位置的表示符号都认为是古希腊对现今数学上的贡献，其实是从古巴比伦人的数学里就已经被使用了。然而希腊人并没有采用位置化的数字系统。思考这个事实的深远意义是很有价值的，也就是说光辉的希腊数学家们的成就并不能让他们采用巴比伦人已曾经使用具有各种优点的位置化数字系统？我们即将所谈论的这个问题的简单答案是较令人不可思议的，基本上我们必须知道希腊的数学成就是建立在几合上的。虽然欧几里得的几合原本Euclid’s Elements 是包含在一部探讨数论的书里，但是它是以几合为立基的。换句话说，希腊的数学家并不需要给数字命名，因为他们工作上所使用的数字就如同线段的长度一般。商人们使用的数用才须要被命名并记录下来，而数学家并不需要，因此不需要非常聪明的数字表示系统。
我们刚提及的事情是有例外的。例外的就是那些牵涉到记录复杂的天文数据的数学家们。今日我们所能认定的"表示零的符号"的最早符号使用记录，是由希腊的天文数学家使用符号O 所开始的。有钗h理论讨论为什么是使用这个特别的符号。某些历史学家倾向于把它视为omicron (希腊字母第十五个字母)的这种说法，然而Neugebauer 却不认为这个看法，因为希腊人已经使用omicron 当做70 这个数字了(希腊的数字系统是建立在它们的字母上的)，他认为是因为希腊字表示"没有东西"的第一个字读做"ouden"。其它的解释认为它建立在"obol"，一种古希腊的银币(几乎没有价值的钱币)而当计算的人在计算沙板所产生的。这里的猜测是当计算的人在沙上移去东西后所留下的空的圆柱形的凹陷部份，而它看起来就像是O。
托勒密在公元一百三十年左右时使用巴比伦人的六十进制系统连同表示空白位置的符号O。这个期间托勒密在数字间及数字尾端使用这个符号。您可能认为至此将零视为空白位置的表示符号终于坚实的确立了。但是然而这与事实是相距甚远的。仅有少数一些例外的天文学家使用这种标示法而之后很长的一段时间都没有人再使用它了。托勒密当然是把它当作某种的标点符号，而这种想法接着出现在印度的数学里。
现在让场影移动到印度，在这里可以公正的认为今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。当然这并不是说，印度的数字并未从早期的成就而来，钗h的数学史家相信印度人对零的使用是从希腊天文学家那儿演进而来的。而且一些数学史家似乎用非理性的方式刻意眨低印度人在数学发展上的贡献，也有人论断印度人发明零的事实太过于夸张。例如：Mukherjee 论断:-
... 这个零的数学概念... 也在从17 000年前的印度精神里表现出来。
可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位值系统而将零当作空白位置的表示符号。事实上有证据显示在公元二百年的印度就有位置数字系统的空白位置表示符号的使用了，但是一些历史家将它们视为伪造而不去注意到它们。让我们稍后再对这件事做个细查，因为它延续了上述讨论的发展。
在大约公元五百年左右Aryabhata 设计了一种数字系统，这种系统是位值系统但是还没有使用到零。他使用"kha" 这个字来表示位置并且后来被使用来称作零的名字。有证据显示，在早期的印度人的手写稿里，他们曾经使用小圆点来表示位值系统中的空白位置。有趣的是在同样的文件中有时也使用小圆点来表示未知数，而这在今日我们通常使用x 来表示它。较晚的印度数学家对零已赋与其名，但仍旧没有表示它的符号。众所公认的印度人使用零的最早记录是在公元八百七十六年所写下的。
我们有一段记载在石头上的铭文，在它上面有一个转换成公元的八百七十六年的日期数字。这段铭文是关于Delhi 南方四百公里的一座城镇Gwalior ，在这个城镇里他们用种植了二百七十株戟状植物，可每日供应足够当地神壂所需的五十个花环的数量。而记载所提及的270 及50 都表示成几乎就是今日的样子，稍微不同的只是零比较小而用浮雕的方式。
where they planted a garden 187 by 270 hastas which would produce enough flowers to allow 50 garlands per day to be given to the local temple. Both of the numbers 270 and 50 are denoted almost as they appear today although the 0 is smaller and slightly raised.
现在我们来讨论零被初次当作数字的事情。首先我们注意到就任何的角度来说，零作为数字的候选人都是极不自然的。从早期数字被视为一类物体相关的字词，之后数字的概念愈来愈抽象，这个抽象过程让人们思考到负数及零的数字变得很有可能的。当人们试着将零及负数视为数字的同时会产生的问题是它们在算术的加减乘除的运算中与其它的整数间的互相作用为何？在三本极重要的著书中，印度的数学家Brahmagupta，Mahavira 和Bhaskara 试着回答这些问题。
Brahmagupta 试着给出在七世纪时牵涉到零及负数的算数运算法则。他解释道：给定一个数然后你将此数与自己相减，然后就会得到零。接着给出了牵涉到零的加法法则：─
负数与零的和仍是负数，正数与零的和是正数，零与零的和仍旧是零。
减法就有些困难：─零减掉负数结果是正数，零减去正数的结果是负数；负数减去零结果仍是负数，正数减去零的结果仍是正数，而零减去零之结果仍旧是仍零。
Brahmagupta 接着说任何数乘上零结果是零，但是对于除法来说就遇到困难了：─当被零分割时也就是当零作为分数的分母时其结果是正数或是负数，当零被负数或是正数所除时结果都是零；或者可以表示成以零当作分子而有限量当作分母的分数。零除以零其结果是零。
实际上，当 Brahmagupta 在猜测 n 除以零表示成 n/0 的时候是谈论的相当少的。很显然的是他在此处遭遇到了困难。当他在论断零除以零得到结果是零的时候，当然是错的。然而从第一个人试着扩充运算法则到零及负数的这件事情来说，这是个伟大的尝试。
在公元八百三十年左右，就在 Brahmagupta 写下他的名作后约二百年后， Mahavira 写下了 Ganita Sara Samgraha 这本书，这本书是被设来作为 Brahmagupta 的书的更新版本。他正确的描述道：─
...一个数乘上零结果是零，一个数减去零后结果仍旧是本身。
然而这本试着增进 Brahmagupta的书，在描述被零分割的事情上似乎导致了错误。他写道：─一个数被零分割的结果似乎还是它自己并未改变。
因为这很明显是不正确的，但是你有否注意到我所使用的措词"似乎导致了错误"可视为令人困惑的。用词的原因是某些对于 Mahavira 这本书的评论家已试着找出对这种错误的陈述的辩解。
Bhaskara 这本书写成于 Brahmagupta 书成后五百年。不管时间的推移，他仍然对于除以零这个问题努力的作出解释。他写道：─一量被零分割变成一个分母是零的分数。这个分数被叫做无限量。尽管钗h的次序规则被吸收或是提出，虽然钗h可能被插入或是扩充，这个数是由零来做为它的除数是没有改变的，如同当世界被创造或摧毁时无限及永恒不变的神没有任何的改变发生一般。
所以 Bhaskara 试着藉由 n/0 = 来解决这个问题。一开始我们可能会倾向于相信 Bhaskara 让这件事情变得正确了。但是当然是没有的。如果对这是对的话，也就是说 0 乘上 一定等于任意数 n，所以所有的数都相同了。即使 Bhaskara 对于零的其它性质做了正确的描述，例如 02 = 0，以及 0 = 0。但是印度的数学家就是无法鼓起勇气来说一个数无法被零来分割。
也意识到在这个时间点有一个另外的文明发展了另一套位值数字系统还有零。也就是生活在中美洲的马雅人文明。今日占领这个区域的国家有墨西哥南部、瓜地马拉、及巴里斯的北部。这是一个古老的文明大约兴盛于公元二百五十年至九百年间。我们知道大约公元六百六十五年左右他们使用一种以二十为基底的位置数字系统而且有一个代表零的符号。然而他们对于零的使用回溯到较此时期更远的时候，甚至在他们采用位值数系之前就已经开始使用了。这是一项卓越的成就可惜并未对其他民族产生影响。
印度数学辉煌的成果被转译到较远西方，诸如伊斯兰的及阿拉伯的数学。在早期 al‘Khwarizmi 写下了 Al’Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning (印度人计算的艺术)，在书中描述了以印度数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 及 0 所建立起的位值系统。这项工作是在现在的伊拉克进行的，是最早使用零来当作空白位置的标示符号。Ibn Ezra 在十二世纪时写了三篇论文来探讨数字，有助于将印度的数字元号及十进制的分数概念带给欧洲博学的人们了解。这本书 The Book of the Number 描述了对整数的十进制系统及从左到右的位值表示系统。在这项工作里 ibn Ezra 将零称做 galgal ，意思是车轮或是圆圈。十二世纪稍晚时期， al-Samawal 写道：─
如果用零来减去一正数其结果是同值的负数 ... 如果我们用零减去负数其结果是同值的正数。
印度人的概念向东延伸到了中国就如同向西到了伊斯兰等国家。在公元一千二百四十七年中国的数字家 Ch‘in Chiu-Shao 所写的数学专论在讨论九分里就使用了 O 这个符号来代表零。稍后，在公元一千三百零三年， Chu Shih-Chieh 所写的 Jade mirror of the four elements 专论里又再次使用这个符号来表示零。
Fibonacci 是将有关数字系统的新观念带进欧洲的主要人物。
在印度─阿拉伯数字系统与欧洲数学之间的很重要的联结由意大利的数学家 Fibonacci 所建立的。
在公元一千二百年左右， Liber Abaci 为欧洲人介绍了印度的这九个数字连同 0 这个符号，但是却有很长的时间未被广范的使用。有件意义深远的事就是 Fibonacci 他并不够勇敢的将 0 与其它数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 视为一般，因为他把零读做"符号"零，而却称其它的叫做"数字"。显见的是，虽然将印度数字介绍给欧洲人是他的最主要的贡献，但是他对零的见解并没有达到印度数学家 Brahmagupta, Mahavira 和 Bhaskara 及像是 al-Samawal 等阿拉伯或伊斯兰数学家们的复杂程度。
你可能会认为数系的进步是普遍的而零却是特殊的，从现在起将变的稳固。然而，情形却不是这样。Cardan 在没有使用到零的情形下解决了三次及四次的方程式。如果他那个时候就有零的概念的话，在公元一千五百年左右，他会较容易的发现这些问题的解答。但这不是他的数学成就的一部份。在一千六百年左右的时候，零已经广为人所使用了，但是却是经历钗h的反抗之后才有的成果。
当然仍旧有因为零产生的问题。最近全世界到处都在公元二千年一月一日的时候庆助新的千禧年到来。当然他们庆助的是已经过去的一千九百九十九年，因为当有日历的时候，它是没有零年的。尽管人们将原谅这个根本的错误，但是有点令人惊奇的是大部份的人们似乎不能了解为什么第三个千禧年及第二十一世纪是从公元二千零一年一月一日才开始的事实。零仍旧引起钗h问题！
整 数
在自然数集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。称N中的元素为正整数，称0为零，称1，-2，-3，…，-n，…。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。
零不仅表示"无"它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。
中国最早引入了负数。《九童算术·方程》中论述的"正负术"，就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a1，b1），（a2，b2），如果a1+b2= a2+b1，就说（a1，b1）～（a2，b2），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。
有 理 数
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
引 起 数 学 危 机 的 无 理 数
无理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如 等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。
第一个被发现的无理数，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是 。他想，X代表对角线长，而 ，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，2是1和4之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了 等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。
无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
https://m.shanpow.com/xhy/453779/
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